Math24.ru
Дифференциальные Уравнения
Главная
Математический анализ
Пределы и непрерывность
Дифференцирование
Приложения производной
Интегрирование
Последовательности и ряды
Двойные интегралы
Тройные интегралы
Криволинейные интегралы
Поверхностные интегралы
Ряды Фурье
Дифференциальные уравнения
Уравнения 1-го порядка
Уравнения 2-го порядка
Уравнения N-го порядка
Системы уравнений
Формулы и таблицы
Powered by MathJax
   Основные понятия теории устойчивости
Предположим, что некоторое явление описывается системой \(n\) дифференциальных уравнений \[\frac{{d{x_i}}}{{dt}} = {f_i}\left( {t,{x_1},{x_2}, \ldots ,{x_n}} \right),\;\;i = 1,2, \ldots ,n\] с начальными условиями \[{x_i}\left( {{t_0}} \right) = {x_{i0}},\;\;i = 1,2, \ldots ,n.\] Будем считать, что функции \({f_i}\left( {t,{x_1},{x_2}, \ldots ,{x_n}} \right)\) определены и непрерывны вместе со своими частными производными на множестве \(\left\{ {t \in \left[ {{t_0}, + \infty } \right),{x_i} \in {\Re^n}} \right\}.\) Далее без ограничения общности полагаем, что начальный момент равен нулю: \({t_0} = 0.\)

Систему дифференциальных уравнений удобнее записать в векторной форме: \[ {\mathbf{X'} = \mathbf{f}\left( {t,\mathbf{X}} \right),\;\;\text{где}}\;\; {\mathbf{X} = \left( {{x_1},{x_2}, \ldots ,{x_n}} \right),}\;\; {\mathbf{f} = \left( {{f_1},{f_2}, \ldots ,{f_n}} \right).} \] В реальных системах начальные условия задаются с определенной точностью. Поэтому возникает естественный вопрос: как малые изменения начальных условий влияют на поведение решения при больших временах - в предельном случае при \(t \to \infty?\)

Если траектория движения системы мало изменяется при малых возмущениях начального положения, то говорят, что движение системы является устойчивым.

Строгое определение устойчивости в терминах \(\varepsilon - \delta\)-нотации было предложено в \(1892\) году русским математиком А.М.Ляпуновым (\(1857-1918\)). Рассмотрим более подробно понятие устойчивости, введенное Ляпуновым.
Устойчивость по Ляпунову
Решение \(\boldsymbol{\varphi} \left( t \right)\) системы дифференциальных уравнений \[\mathbf{X'} = \mathbf{f}\left( {t,\mathbf{X}} \right)\] с начальными условиями \[\mathbf{X}\left( 0 \right) = {\mathbf{X}_0}\] устойчиво (в смысле Ляпунова), если для любого \(\varepsilon > 0\) найдется число \(\delta = \delta \left( \varepsilon \right) > 0,\) такое, что если \[ {\left\| {\mathbf{X}\left( 0 \right) - \boldsymbol{\varphi} \left( 0 \right)} \right\| < \delta ,}\;\; {\text{то}\;\;\left\| {\mathbf{X}\left( t \right) - \boldsymbol{\varphi} \left( t \right)} \right\| < \varepsilon } \] для всех значений \(t \ge 0.\) В противном случае решение \(\boldsymbol{\varphi} \left( t \right)\) называется неустойчивым.

В качестве нормы для измерения расстояния между точками можно использовать, например, эвклидову метрику \(\left\| {{\mathbf{x}_e}} \right\|\) или метрику Манхеттена \(\left\| {{\mathbf{x}_m}} \right\|:\) \[\left\| {{\mathbf{x}_e}} \right\| = \sqrt {\sum\limits_{i = 1}^n {{{\left| {{x_i}} \right|}^2}} } ,\;\;\left\| {{\mathbf{x}_m}} \right\| = \sum\limits_{i = 1}^n {\left| {{x_i}} \right|} .\] В случае \(n = 2\) устойчивость по Ляпунову означает, что любая траектория \({\mathbf{X}\left( t \right)},\) которая начинается в \(\delta \left( \varepsilon \right)\)-окрестности точки \({\boldsymbol{\varphi} \left( 0 \right)},\) остается внутри трубки с максимальным радиусом \(\varepsilon\) при всех \(t \ge 0\) (рисунок \(1\)).
понятие устойчивости в смысле Ляпунова
асимптотическая устойчивость
Рис.1
Рис.2
экспоненциальная устойчивость
орбитальная устойчивость
Рис.3
Рис.4
Асимптотическая и экспоненциальная устойчивость
Если решение \(\boldsymbol{\varphi} \left( t \right)\) системы дифференциальных уравнений не только устойчиво в смысле Ляпунова, но и удовлетворяет соотношению \[\lim\limits_{t \to \infty } \left\| {\mathbf{X}\left( t \right) - \boldsymbol{\varphi} \left( t \right)} \right\| = 0\] при условии \[\left\| {\mathbf{X}\left( 0 \right) - \boldsymbol{\varphi} \left( 0 \right)} \right\| < \delta,\] то говорят, что решение \(\boldsymbol{\varphi} \left( t \right)\) является асимптотически устойчивым. В этом случае все решения, достаточно близкие к \(\boldsymbol{\varphi} \left( 0 \right)\) в начальный момент времени, постепенно сходятся к \(\boldsymbol{\varphi} \left( t \right)\) при увеличении \(t.\) Схематически это показано на рисунке \(2.\)

Если решение \(\boldsymbol{\varphi} \left( t \right)\) асимптотически устойчиво и, кроме того, из условия \[\left\| {\mathbf{X}\left( 0 \right) - \boldsymbol{\varphi} \left( 0 \right)} \right\| < \delta\] следует, что \[\left\| {\mathbf{X}\left( t \right) - \boldsymbol{\varphi} \left( t \right)} \right\| \le \alpha \left\| {\mathbf{X}\left( 0 \right) - \boldsymbol{\varphi} \left( 0 \right)} \right\|{e^{ - \beta t}}\] для всех \(t \ge 0,\) то говорят, что решение \(\boldsymbol{\varphi} \left( t \right)\) является экспоненциально устойчивым. В таком случае все решения, близкие к \(\boldsymbol{\varphi} \left( 0 \right)\) в начальный момент, сходятся к \(\boldsymbol{\varphi} \left( t \right)\) со скоростью (большей или равной), которая определяется экспоненциальной функцией с параметрами \(\alpha,\) \(\beta\) (рисунок \(3\)).

Общая теория устойчивости, помимо устойчивости в смысле Ляпунова, содержит много других концепций и определений устойчивого движения. В частности, важное значение имеют понятия орбитальной и структурной устойчивости.
Орбитальная устойчивость
Орбитальная устойчивость описывает поведение замкнутой траектории (орбиты) под действием малых внешних возмущений.

Рассмотрим автономную систему \[ {\frac{{d{x_i}}}{{dt}} = {f_i}\left( {{x_1},{x_2}, \ldots ,{x_n}} \right),}\;\; {{x_i}\left( {{t_0}} \right) = {x_{i0}},}\;\; {i = 1,2, \ldots ,n,} \] т.е. систему уравнений, правая часть которых не содержит в явном виде независимой переменной \(t.\) В векторном виде автономная система записывается как \[ {\mathbf{X'}\left( t \right) = \mathbf{f}\left( \mathbf{X} \right),\;\;\text{где}}\;\; {\mathbf{X} = \left( {{x_1},{x_2}, \ldots ,{x_n}} \right),}\;\; {\mathbf{f} = \left( {{f_1},{f_2}, \ldots ,{f_n}} \right).} \] Пусть \(\boldsymbol{\varphi} \left( t \right)\) − периодическое решение заданной автономной системы, т.е. имеет вид замкнутой траектории (орбиты). Если для любого \(\varepsilon > 0\) найдется постоянное число \(\delta = \delta \left( \varepsilon \right) > 0,\) такое, что траектория всякого решения \(\mathbf{X}\left( t \right),\) начинающегося в \(\delta\)-окрестности траектории \(\boldsymbol{\varphi} \left( t \right),\) остается в \(\varepsilon\)-окрестности траектории \(\boldsymbol{\varphi} \left( t \right)\) при всех \(t \ge 0,\) то такая траектория \(\boldsymbol{\varphi} \left( t \right)\) называется орбитально устойчивой (рисунок \(4\)).

По аналогии с асимптотической устойчивостью в смысле Ляпунова вводится также понятие асимптотической орбитальной устойчивости. Такой тип движения реализуется, например, в системах, имеющих предельный цикл.
Структурная устойчивость
Предположим, что у нас имеются две автономных системы с близкими свойствами - в том смысле, что их фазовые портреты содержат одинаковые особые точки и геометрически похожие траектории. Такие системы можно назвать структурно устойчивыми.

В строгом определении требуется, чтобы данные системы были орбитально топологически эквивалентными, т.е. должен существовать гомеоморфизм (это страшное слово означает взаимно-однозначное и непрерывное отображение), который преобразует семейство траекторий первой системы в семейство траекторий второй системы с сохранением направления движения. В этих терминах определение структурной устойчивости формулируется следующим образом.

Рассмотрим автономную систему, которая в невозмущенном и возмущенном состоянии описывается, соответственно, двумя уравнениями: \[\mathbf{X'} = \mathbf{f}\left( \mathbf{X} \right),\] \[\mathbf{X'} = \mathbf{f}\left( \mathbf{X} \right) + \varepsilon\mathbf{g}\left( \mathbf{X} \right).\] Если для любой ограниченной и непрерывно-дифференцируемой векторной функции \(\mathbf{g}\left( \mathbf{X} \right)\) существует число \(\varepsilon > 0,\) такое, что траектории невозмущенной и возмущенной системы являются орбитально топологически эквивалентными, то такая система называется структурно устойчивой.
Редукция к задаче об устойчивости нулевого решения
Пусть задана произвольная неавтономная система \[\mathbf{X'} = \mathbf{f}\left( {t,\mathbf{X}} \right)\] с начальным условием \(\mathbf{X}\left( 0 \right) = {\mathbf{X}_0}\) (задача Коши), где вектор-функция \(\mathbf{f}\) определена на множестве \(\left\{ {t \in \left[ {{t_0}, + \infty } \right),{x_i} \in {\Re^n}} \right\}.\)

Предположим, что данная система имеет решение \(\boldsymbol{\varphi} \left( t \right),\) устойчивость которого требуется исследовать. Анализ устойчивости упрощается, если рассмотреть возмущения \[\mathbf{Z}\left( t \right) = \mathbf{X}\left( t \right) - \boldsymbol{\varphi} \left( t \right),\] для которых получается дифференциальное уравнение \[\mathbf{Z'}\left( t \right) = \mathbf{f}\left( {t,\mathbf{Z}} \right).\] Очевидно, что последнему уравнению удовлетворяет нулевое решение \[\mathbf{Z}\left( {t,\mathbf{0}} \right) \equiv \mathbf{0},\] что соответствует тождеству \[\mathbf{X}\left( t \right) \equiv \boldsymbol{\varphi} \left( t \right).\] Таким образом, исследование устойчивости решения \(\boldsymbol{\varphi} \left( t \right)\) можно заменить на исследование устойчивости функции \(\mathbf{Z}\left( t \right)\) вблизи точки \(\mathbf{Z} = \mathbf{0}.\)
Устойчивость линейных систем
Линейная система \[\mathbf{X'} = A\left( t \right)\mathbf{X} + \mathbf{f}\left( t \right)\] называется устойчивой, если все ее решения устойчивы в смысле Ляпунова.

Оказывается, что неоднородная линейная система будет устойчивой при любом свободном члене \(\mathbf{f}\left( t \right),\) если устойчиво нулевое решение соответствующей однородной системы \[\mathbf{X'} = A\left( t \right)\mathbf{X}.\] Поэтому при изучении устойчивости в классе линейных систем достаточно ограничиться анализом однородных дифференциальных систем. В наиболее простом случае, когда матрица коэффициентов \(A\) является постоянной, условия устойчивости формулируются в терминах собственных значений матрицы \(A.\)

Рассмотрим однородную линейную систему \[\mathbf{X'} = A\mathbf{X},\] где \(A\) − постоянная матрица размером \(n \times n.\) Такая система (она также является автономной) имеет нулевое решение \(\mathbf{X}\left( t \right) = \mathbf{0}.\) Устойчивость данного решения определяется следующими теоремами.

Пусть \({\lambda _i}\) − собственные числа матрицы \(A.\)

Теорема \(1\). Линейная однородная система с постоянными коэффициентами устойчива в смысле Ляпунова тогда и только тогда, когда все собственные значения \({\lambda _i}\) матрицы \(A\) удовлетворяют соотношению \[\text{Re}\left[ {{\lambda _i}} \right] \le 0\;\;\left( {i = 1,2, \ldots ,n} \right),\] причем у собственных значений, действительная часть которых равна нулю, алгебраическая и геометрическая кратность должны быть одинаковы (т.е. соответствующие жордановы клетки должны быть размера \(1 \times 1.\))

Теорема \(2\). Линейная однородная система с постоянными коэффициентами является асимптотически устойчивой тогда и только тогда, когда все собственные значения \({\lambda _i}\) имеют отрицательные действительные части: \[\text{Re}\left[ {{\lambda _i}} \right] \lt 0\;\;\left( {i = 1,2, \ldots ,n} \right).\] Теорема \(3\). Линейная однородная система с постоянными коэффициентами неустойчива, если выполнено хотя бы одно из условий:
  • матрица \(A\) имеет собственное значение \({\lambda _i}\) с положительной действительной частью;

  • матрица \(A\) имеет собственное значение \({\lambda _i}\) с нулевой действительной частью, причем геометрическая кратность собственного числа \({\lambda _i}\) меньше его алгебраической кратности.

Приведенные теоремы позволяют исследовать устойчивость линейных систем с постоянными коэффициентами, зная собственные значения и собственные векторы. Однако во многих случаях характер устойчивости можно определить, не решая систему уравнений, а используя критерии устойчивости. Одним из таких признаков устойчивости является критерий Рауса-Гурвица. Он позволяет судить об устойчивости системы, зная лишь коэффициенты характеристического уравнения матрицы \(A.\)
Устойчивость по первому приближению
Рассмотрим нелинейную автономную систему \(\mathbf{X'} = f\left( \mathbf{X} \right).\) Предположим, что система имеет нулевое решение \(\mathbf{X} = \mathbf{0},\) которое будем исследовать на устойчивость.

Считая функции \({f_i}\left( \mathbf{X} \right)\) дважды непрерывно дифференцируемыми в некоторой окрестности начала координат, можно разложить правую часть в ряд Маклорена: \[ {\frac{{d{x_1}}}{{dt}} = \frac{{\partial {f_1}}}{{\partial {x_1}}}\left( 0 \right){x_1} + \frac{{\partial {f_1}}}{{\partial {x_2}}}\left( 0 \right){x_2} + \cdots } + {\frac{{\partial {f_1}}}{{\partial {x_n}}}\left( 0 \right){x_n} } + {{R_1}\left( {{x_1},{x_2}, \ldots ,{x_n}} \right),} \] \[ {\frac{{d{x_2}}}{{dt}} = \frac{{\partial {f_2}}}{{\partial {x_1}}}\left( 0 \right){x_1} + \frac{{\partial {f_2}}}{{\partial {x_2}}}\left( 0 \right){x_2} + \cdots } + {\frac{{\partial {f_2}}}{{\partial {x_n}}}\left( 0 \right){x_n} } + {{R_2}\left( {{x_1},{x_2}, \ldots ,{x_n}} \right),} \] \[\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\] \[ {\frac{{d{x_n}}}{{dt}} = \frac{{\partial {f_n}}}{{\partial {x_1}}}\left( 0 \right){x_1} + \frac{{\partial {f_n}}}{{\partial {x_2}}}\left( 0 \right){x_2} + \cdots } + {\frac{{\partial {f_n}}}{{\partial {x_n}}}\left( 0 \right){x_n} } + {{R_n}\left( {{x_1},{x_2}, \ldots ,{x_n}} \right).} \] где слагаемые \({R_i}\) описывают члены второго (и более высокого) порядка малости относительно координатных функций \({{x_1},{x_2}, \ldots ,{x_n}}.\)

Возвращаясь к векторно-матричной записи, получаем: \[\mathbf{X'} = J\mathbf{X} + \mathbf{R}\left( \mathbf{X} \right),\] где якобиан \(J\) определяется формулой \[J = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{{\partial {f_1}}}{{\partial {x_1}}}}&{\frac{{\partial {f_1}}}{{\partial {x_2}}}}& \vdots &{\frac{{\partial {f_1}}}{{\partial {x_n}}}}\\ {\frac{{\partial {f_2}}}{{\partial {x_1}}}}&{\frac{{\partial {f_2}}}{{\partial {x_2}}}}& \vdots &{\frac{{\partial {f_2}}}{{\partial {x_n}}}}\\ \cdots & \cdots & \vdots & \cdots \\ {\frac{{\partial {f_n}}}{{\partial {x_1}}}}&{\frac{{\partial {f_n}}}{{\partial {x_2}}}}& \vdots &{\frac{{\partial {f_n}}}{{\partial {x_n}}}} \end{array}} \right).\] Значения частных производных в этой матрице вычисляются в точке разложения в ряд, т.е. в данном случае в нуле.

Во многих случаях вместо исходной нелинейной автономной системы можно рассматривать и исследовать на устойчивость соответствующую линеаризованную систему или систему уравнений первого приближения. Устойчивость такой системы определяется следующими признаками:
  • Если все собственные значения якобиана \(J\) имеют отрицательные действительные части, то нулевое решение \(\mathbf{X} = \mathbf{0}\) исходной системы и линеаризованной является асимптотически устойчивым.

  • Если хотя бы одно собственное значение якобиана \(J\) имеет положительную действительную часть, то нулевое решение \(\mathbf{X} = \mathbf{0}\) исходной системы и линеаризованной системы является неустойчивым.

В критических случаях, когда собственные числа имеют действительную часть, равную нулю, следует использовать другие методы исследования устойчивости. Задачи на устойчивость по первому приближению приведены здесь.
Функции Ляпунова
Одним из мощных инструментов анализа устойчивости систем дифференциальных уравнений, включая нелинейные системы, являются функции Ляпунова. Данная техника подробно рассматривается на отдельной web-странице "Метод функций Ляпунова".

   Пример 1
Используя определение устойчивости по Ляпунову, показать, что нулевое решение системы устойчиво. \[\frac{{dx}}{{dt}} = - x - y,\;\;\frac{{dy}}{{dt}} = - x + y.\]
Решение.
Сначала найдем общее решение системы. Собственные значения \({\lambda _i}\) матрицы коэффициентов \(A\) равны: \[ {A = \left( {\begin{array}{*{20}{r}} { - 1}&{ - 1}\\ 1&1 \end{array}} \right),}\;\; {\det \left( {A - \lambda I} \right) = 0,}\;\; {\Rightarrow \left| {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1 - \lambda }&{ - 1}\\ 1&{1 - \lambda } \end{array}} \right| = 0,}\;\; {\Rightarrow {\left( { - 1 - \lambda } \right)^2} + 1 = 0,}\;\; {\Rightarrow {\lambda ^2} + 2\lambda + 2 = 0,}\;\; {\Rightarrow {\lambda _{1,2}} = - 1 \pm i.} \] Определим собственный вектор \({\mathbf{V}_1} = {\left( {{V_{11}},{V_{21}}} \right)^T}\) для собственного значения \({\lambda _1} = - 1 + i:\) \[ {\left( {A - {\lambda _1}I} \right){\mathbf{V}_1} = \mathbf{0},}\;\; {\Rightarrow \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1 - \left( { - 1 + i} \right)}&{ - 1}\\ 1&{ - 1 - \left( { - 1 + i} \right)} \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{V_{11}}}\\ {{V_{21}}} \end{array}} \right) = \mathbf{0},}\;\; {\Rightarrow \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - i}&{ - 1}\\ 1&{ - i} \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{V_{11}}}\\ {{V_{21}}} \end{array}} \right) = \mathbf{0},}\;\; {\Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} { - i{V_{11}} - {V_{21}} = 0}\\ {{V_{11}} - i{V_{21}} = 0} \end{array}} \right..} \] Полученные уравнения являются линейно зависимыми. Поэтому, полагая \({V_{21}} = t,\) из второго уравнения находим: \[{V_{11}} = i{V_{21}} = it.\] Следовательно, собственный вектор \({\mathbf{V}_1}\) равен: \[ {{\mathbf{V}_1} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{V_{11}}}\\ {{V_{21}}} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {it}\\ t \end{array}} \right) } = {t\left( {\begin{array}{*{20}{c}} i\\ 1 \end{array}} \right) } \sim {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} i\\ 1 \end{array}} \right).} \] Тогда решение \({\mathbf{X}_1}\left( t \right),\) соответствующее комплексному числу \({\lambda _1} = - 1 + i,\) имеет вид: \[ {{\mathbf{X}_1}\left( t \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} x\\ y \end{array}} \right) = {e^{{\lambda _1}t}}{\mathbf{V}_1} } = {{e^{\left( { - 1 + i} \right)t}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} i\\ 1 \end{array}} \right).} \] Разложим экспоненциальную функцию по формуле Эйлера: \[ {{e^{\left( { - 1 + i} \right)t}} = {e^{ - t}}{e^{it}} } = {{e^{ - t}}\left( {\cos t + i\sin t} \right).} \] Получаем \[ {{\mathbf{X}_1}\left( t \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} x\\ y \end{array}} \right) } = {{e^{ - t}}\left( {\cos t + i\sin t} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} i\\ 1 \end{array}} \right) } = {{e^{ - t}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\left( {\cos t + i\sin t} \right)i}\\ {\cos t + i\sin t} \end{array}} \right) } = {{e^{ - t}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - \sin t + i\cos t}\\ {\cos t + i\sin t} \end{array}} \right) } = {{e^{ - t}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - \sin t}\\ {\cos t} \end{array}} \right) + i{e^{ - t}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\cos t}\\ {\sin t} \end{array}} \right).} \] Отсюда видно, что действительная и мнимая части решения равны \[ {\text{Re}\left[ {{\mathbf{X}_1}\left( t \right)} \right] = {e^{ - t}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - \sin t}\\ {\cos t} \end{array}} \right),}\;\; {\text{Im}\left[ {{\mathbf{X}_1}\left( t \right)} \right] = {e^{ - t}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\cos t}\\ {\sin t} \end{array}} \right).} \] Следовательно, общее решение системы выражается формулой \[ {\mathbf{X}\left( t \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} x\\ y \end{array}} \right) } = {{C_1}{e^{ - t}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - \sin t}\\ {\cos t} \end{array}} \right) } + {{C_2}{e^{ - t}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\cos t}\\ {\sin t} \end{array}} \right)} \] или \[\left\{ \begin{array}{l} x\left( t \right) = - {C_1}{e^{ - t}}\sin t + {C_2}{e^{ - t}}\cos t\\ y\left( t \right) = {C_1}{e^{ - t}}\cos t + {C_2}{e^{ - t}}\sin t \end{array} \right..\] Полагая, что в начальный момент \(t = 0\) система находится в точке \(\left( {{x_0},{y_0}} \right),\) получаем: \[\left\{ \begin{array}{l} x\left( 0 \right) = {C_2} = {x_0}\\ y\left( 0 \right) = {C_1} = {y_0} \end{array} \right..\] С учетом этого решение можно записать в следующем виде: \[\left\{ \begin{array}{l} x\left( t \right) = - {y_0}{e^{ - t}}\sin t + {x_0}{e^{ - t}}\cos t\\ y\left( t \right) = {y_0}{e^{ - t}}\cos t + {x_0}{e^{ - t}}\sin t \end{array} \right..\] Траектория этого решения выходит из точки \(\left( {{x_0},{y_0}} \right).\)

Теперь исследуем устойчивость нулевого решения, которое обозначим как \(\boldsymbol{\varphi} \left( t \right) \equiv 0.\) Согласно определению устойчивости по Ляпунову введем некоторое число \(\varepsilon > 0\) и найдем соответствующее ему число \(\delta = \delta \left( \varepsilon \right) > 0,\) такое, что при \[\left\| {\mathbf{X}\left( 0 \right) - \boldsymbol{\varphi} \left( 0 \right)} \right\| < \delta \] будет выполняться соотношение \[\left\| {\mathbf{X}\left( t \right) - \boldsymbol{\varphi} \left( t \right)} \right\| < \varepsilon \] для всех \(t \ge 0.\)

Пусть возмущенное решение \(\mathbf{X}\left( t \right)\) в начальный момент имеет координаты \(\left( {{x_0},{y_0}} \right).\) Считая, что отклонение от нуля по каждой из координат не превосходит \(\large\frac{\delta }{2}\normalsize\) и применяя неравенство треугольника, можно записать: \[ {\left\| {\mathbf{X}\left( 0 \right) - \boldsymbol{\varphi} \left( 0 \right)} \right\| } = {\sqrt {{{\left| {{x_0}} \right|}^2} + {{\left| {{y_0}} \right|}^2}} \le \left| {{x_0}} \right| + \left| {{y_0}} \right| } = {\frac{\delta }{2} + \frac{\delta }{2} = \delta .} \] Здесь в качестве нормы мы использовали обычную эвклидову метрику.

Установим связь между числами \(\delta\) и \(\varepsilon.\) Подставляя известные выражения для решения \(\mathbf{X}\left( t \right) = \left( {x\left( t \right),y\left( t \right)} \right),\) получаем: \[ {\left\| {\mathbf{X}\left( t \right) - \boldsymbol{\varphi} \left( t \right)} \right\| } = {{e^{ - t}}\sqrt {{{\left| { - {y_0}\sin t + {x_0}\cos t} \right|}^2} + {{\left| {{y_0}\cos t + {x_0}\sin t} \right|}^2}} } \le {{e^{ - t}}\sqrt {{{\left( {\left| {{y_0}} \right| + \left| {{x_0}} \right|} \right)}^2} + {{\left( {\left| {{y_0}} \right| + \left| {{x_0}} \right|} \right)}^2}} } = {{e^{ - t}}\sqrt {2{{\left( {\left| {{y_0}} \right| + \left| {{x_0}} \right|} \right)}^2}} } = {{e^{ - t}}\sqrt {2{{\left( {\frac{\delta }{2} + \frac{\delta }{2}} \right)}^2}} } = {{e^{ - t}}\sqrt {2{\delta ^2}} } = {\sqrt 2 {e^{ - t}}\delta \le \sqrt 2 \delta = \varepsilon .} \] Итак, если мы положим \(\delta = \large\frac{\varepsilon }{{\sqrt 2 }}\normalsize,\) то все возмущенные траектории, выходящие из точки \(\left( {{x_0},{y_0}} \right),\) при условии \(\left| {{x_0}} \right| < \large\frac{\delta }{2}\normalsize,\;\left| {{y_0}} \right| < \large\frac{\delta }{2}\normalsize,\) будут оставаться в трубке с радиусом \(\varepsilon.\) Таким образом, система является устойчивой в смысле Ляпунова.

Заметим, что на самом деле выполняется более сильное условие: \[\lim\limits_{t \to \infty } \left\| {\mathbf{X}\left( t \right) - \boldsymbol{\varphi} \left( t \right)} \right\| = \lim\limits_{t \to \infty } \left( {\sqrt 2 {e^{ - t}}\delta } \right) = 0.\] т.е. система является асимптотически устойчивой.

   Пример 2
Исследовать на устойчивость и асимптотическую устойчивость нулевое решение системы, общее решение которой имеет вид \[\left\{ \begin{array}{l} x\left( t \right) = 3{C_1} + {C_2}{e^{ - t}}\\ y\left( t \right) = 2{C_1}{t^2}{e^{ - t}} - {C_2}\cos t \end{array} \right..\]
Решение.
Пусть начальные условия заданы в виде \(x\left( 0 \right) = {x_0},y\left( 0 \right) = {y_0}.\) Выразим общее решение системы через координаты \({x_0},{y_0}:\) \[ {\left\{ \begin{array}{l} x\left( 0 \right) = 3{C_1} = {x_0}\\ y\left( 0 \right) = - {C_2} = {y_0} \end{array} \right.,}\;\; {\Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{C_1} = \frac{{{x_0}}}{3}}\\ {{C_2} = - {y_0}} \end{array}} \right..} \] Тогда \[\left\{ \begin{array}{l} x\left( t \right) = {x_0} - {y_0}{e^{ - t}}\\ y\left( t \right) = \frac{2}{3}{x_0}{t^2}{e^{ - t}} + {y_0}\cos t \end{array} \right..\] Предположим, что решения \(x\left( t \right),y\left( t \right)\) при всех значениях \(t \ge 0\) удовлетворяют соотношениям \[\left| {x\left( t \right)} \right| < \varepsilon ,\;\;\left| {y\left( t \right)} \right| < \varepsilon ,\] где \(\varepsilon\) − произвольное положительное число. В соответствии с определением устойчивости по Ляпунову попробуем подобрать число \(\delta \left( \varepsilon \right),\) зависящее от \(\varepsilon,\) такое, чтобы выполнялись неравенства \[ {\left| {x\left( 0 \right)} \right| = \left| {{x_0}} \right| < \delta \left( \varepsilon \right),}\;\; {\left| {y\left( 0 \right)} \right| = \left| {{y_0}} \right| < \delta \left( \varepsilon \right).} \] В результате получаем \[ {\left| {x\left( t \right)} \right| = \left| {{x_0} - {y_0}{e^{ - t}}} \right| } \le {\left| {{x_0}} \right| + \left| {{y_0}} \right| < \varepsilon ,} \] \[ {\left| {y\left( t \right)} \right| = \left| {\frac{2}{3}{x_0}{t^2}{e^{ - t}} + {y_0}\cos t} \right| } \le {\frac{2}{3}\left| {{x_0}} \right|{t^2}{e^{ - t}} + \left| {{y_0}} \right| < \varepsilon .} \] Учтем, что функция \(g\left( t \right) = {t^2}{e^{ - t}}\) является ограниченной. Действительно, \[ {g'\left( t \right) = {\left( {{t^2}{e^{ - t}}} \right)^\prime } } = {2t{e^{ - t}} - {t^2}{e^{ - t}} } = {\left( {2t - {t^2}} \right){e^{ - t}} } = {t\left( {2 - t} \right){e^{ - t}},}\;\; {\Rightarrow g'\left( t \right) = 0\;\;\text{при}\;\;t = 0,2.} \] При \(t = 2\) функция \(g\left( t \right) = {t^2}{e^{ - t}}\) имеет максимум, равный \[ {{g_{\max }} = g\left( {t = 2} \right) } = {{2^2}{e^{ - 2}} } \approx {0.54 < 1.} \] Тогда неравенство для \(\left| {y\left( t \right)} \right|\) записывается в виде \[\left| {y\left( t \right)} \right| \le \frac{2}{3}\left| {{x_0}} \right| + \left| {{y_0}} \right| < \varepsilon .\] Если мы теперь выберем \(\delta = \large\frac{\varepsilon }{2}\normalsize,\) так что \[ {\left| {{x_0}} \right| < \delta = \frac{\varepsilon }{2}\;\;\text{и}}\;\; {\left| {{y_0}} \right| < \delta = \frac{\varepsilon }{2},} \] то будут заведомо выполняться неравенства \[ {\left| {x\left( t \right)} \right| = \left| {{x_0}} \right| + \;\left| {{y_0}} \right| < \frac{\varepsilon }{2} + \frac{\varepsilon }{2} = \varepsilon ,}\;\; {\left| {y\left( t \right)} \right| \le \frac{2}{3}\left| {{x_0}} \right| + \left| {{y_0}} \right| < \frac{2}{3} \cdot \frac{\varepsilon }{2} + \frac{\varepsilon }{2} } = {\frac{{5\varepsilon }}{6} < \varepsilon .} \] Следовательно, нулевое решение заданной системы уравнений устойчиво.

Из формул для \({x\left( t \right)},{y\left( t \right)} \) видно, что система не является асимптотически устойчивой, поскольку при \(t \to \infty\) значения \({x\left( t \right)},{y\left( t \right)} \) не стремятся к нулю.

   Пример 3
Определить, при каких значениях параметров \(a, b\) нулевое решение системы \[\frac{{dx}}{{dt}} = ax + y,\;\;\frac{{dy}}{{dt}} = x + by\] является асимптотически устойчивым?

Решение.
Вычислим собственные значения \({\lambda _i}\) матрицы коэффициентов \(A:\) \[ {A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} a&1\\ 1&b \end{array}} \right),}\;\; {\det \left( {A - \lambda I} \right) = 0,}\;\; {\Rightarrow \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {a - \lambda }&1\\ 1&{b - \lambda } \end{array}} \right| = 0,}\;\; {\Rightarrow \left( {a - \lambda } \right)\left( {b - \lambda } \right) - 1 = 0,}\;\; {\Rightarrow {\lambda ^2} - \left( {a + b} \right)\lambda + ab - 1 = 0.} \] Решим полученное квадратное уравнение с параметрами \(a, b.\) \[ {D = {\left( {a + b} \right)^2} - 4\left( {ab - 1} \right) } = {{a^2} + 2ab + {b^2} - 4ab + 4 } = {{a^2} - 2ab + {b^2} + 4 } = {{\left( {a - b} \right)^2} + 4 > 0.} \] Как видно, дискриминант всегда положительный. Поэтому собственные значения являются действительными числами и определяются формулой \[{\lambda _{1,2}} = \frac{{a + b \pm \sqrt {{{\left( {a - b} \right)}^2} + 4} }}{2}.\] Найдем множество значений чисел \(a, b\) при которых собственные значения \({\lambda _1},\) \({\lambda _2}\) отрицательны (что соответствует условию асимптотической устойчивости системы): \[\left\{ \begin{array}{l} {\lambda _1} < 0\\ {\lambda _2} < 0 \end{array} \right.,\;\; \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a + b + \sqrt {{{\left( {a - b} \right)}^2} + 4} < 0}\\ {a + b - \sqrt {{{\left( {a - b} \right)}^2} + 4} < 0} \end{array}} \right..\] Складывая оба неравенства, получаем \(a + b < 0.\) В таком случае второе неравенство \[\sqrt {{{\left( {a - b} \right)}^2} + 4} > a + b\] выполняется при всех \(a, b,\) удовлетворяющих условию \(a + b < 0.\)

Решим первое неравенство: \[ {\left\{ \begin{array}{l} \sqrt {{{\left( {a - b} \right)}^2} + 4} < - \left( {a + b} \right)\\ a + b < 0 \end{array} \right.,}\;\; {\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} {\left( {a - b} \right)^2} + 4 < {\left( {a + b} \right)^2}\\ a + b < 0 \end{array} \right.,}\;\; {\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} {\left( {a + b} \right)^2} - {\left( {a + b} \right)^2} > 4\\ a + b < 0 \end{array} \right.,}\;\; {\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \left( {a + b - a + b} \right)\left( {a + b + a - b} \right) > 4\\ a + b < 0 \end{array} \right.,}\;\; {\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} 4ab > 4\\ a + b < 0 \end{array} \right.,}\;\; {\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} ab > 1\\ a + b < 0 \end{array} \right..} \] Решение обоих элементарных неравенств показаны графически на рисунке \(5.\) Общим решением является область (заштрихованная зеленым цветом), расположенная ниже гиперболы \(ab = 1\) в левой полуплоскости. При всех значениях \(a, b\) из этой области решение системы будет асимптотически устойчивым.
область асимптотической устойчивости
Рис.5


Все права защищены © www.math24.ru, 2009-2016   info@math24.ru
Сайт оптимизирован для Chrome, Firefox, Safari и Internet Explorer.