Окружностью называется замкнутая плоская кривая, все точки которой равноудалены от заданной точки (центра окружности). Расстояние от любой точки окружности \(P\left( {x,y} \right)\) до ее центра называется радиусом. Центр окружности и сама окружность лежат в одной и той же плоскости. Уравнение окружности радиуса \(R\) с центром в начале координат (каноническое уравнение окружности) имеет вид
\({x^2} + {y^2} = {R^2}\).

Уравнение окружности радиуса \(R\) с центром в произвольной точке \(A\left( {a,b} \right)\) записывается как
\({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} = {R^2}\).

Уравнение окружности, проходящей через три точки, записывается в виде: \(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{x^2} + {y^2}} & x & y & 1\\ {x_1^2 + y_1^2} & {{x_1}} & {{y_1}} & 1\\ {x_2^2 + y_2^2} & {{x_2}} & {{y_2}} & 1\\ {x_3^2 + y_3^2} & {{x_3}} & {{y_3}} & 1 \end{array}} \right| = 0.\\\)
Здесь \(A\left( {{x_1},{y_1}} \right)\), \(B\left( {{x_2},{y_2}} \right)\), \(C\left( {{x_3},{y_3}} \right)\) − три точки, лежащие на окружности.

Уравнение окружности в параметрической форме  
\( \left\{ \begin{aligned} x &= R \cos t \\ y &= R\sin t \end{aligned} \right., \;\;0 \le t \le 2\pi\),
где \(x\), \(y\) − координаты точек окружности, \(R\) − радиус окружности, \(t\) − параметр.

Общее уравнение окружности
\(A{x^2} + A{y^2} + Dx + Ey + F = 0\)
при условии \(A \ne 0\), \(D^2 + E^2 > 4AF\).
Центр окружности расположен в точке с координатами \(\left( {a,b} \right)\), где
\(a = - \large\frac{D}{{2A}}\normalsize,\;\;b = - \large\frac{E}{{2A}}\normalsize.\)
Радиус окружности равен
\(R = \sqrt {\large\frac{{{D^2} + {E^2} - 4AF}}{{2\left| A \right|}}\normalsize} \)

Эллипсом называется плоская кривая, для каждой точки которой сумма расстояний до двух заданных точек (фокусов эллипса) постоянна. Расстояние между фокусами называется фокусным расстоянием и обозначается через \(2c\). Середина отрезка, соединяющего фокусы, называется центром эллипса. У эллипса есть две оси симметрии: первая или фокальная ось, проходящая через фокусы, и перпендикулярная ей вторая ось. Точки пересечения этих осей с эллипсом называются вершинами. Отрезок, соединяющий центр эллипса с вершиной, называется полуосью эллипса. Большая полуось обозначается через \(a\), малая полуось − через \(b\). Эллипс, центр которого находится в начале координат, а полуоси лежат на координатных прямых, описывается следующим каноническим уравнением:
\(\large\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}}\normalsize + \large\frac{{{y^2}}}{{{b^2}}}\normalsize = 1.\)

Сумма расстояний от любой точки эллипса до его фокусов постоянна:
\({r_1} + {r_2} = 2a\),
где \({r_1}\), \({r_2}\) − расстояния от произвольной точки \(P\left( {x,y} \right)\) до фокусов \({F_1}\) и \({F_2}\), \(a\) − большая полуось эллипса.

Соотношение между полуосями эллипса и фокусным расстоянием
\({a^2} = {b^2} + {c^2}\),
где \(a\) − большая полуось эллипса, \(b\) − малая полуось, \(c\) − половина фокусного расстояния.

Эксцентриситет эллипса  
\(e = \large\frac{c}{a}\normalsize < 1\)

Уравнения директрис эллипса
Директрисой эллипса называется прямая, перпендикулярная его фокальной оси и пересекающая ее на расстоянии \(\large\frac{a}{e}\normalsize\) от центра. Эллипс имеет две директрисы, отстоящие по разные стороны от центра. Уравнения директрис записываются в виде
\(x = \pm \large\frac{a}{e}\normalsize = \pm \large\frac{{{a^2}}}{c}\normalsize.\)

Уравнение эллипса в параметрической форме
\( \left\{ \begin{aligned} x &= a\cos t \\ y &= b\sin t \end{aligned} \right., \;\;0 \le t \le 2\pi\),
где \(a\), \(b\) − полуоси эллипса, \(t\) − параметр.

Общее уравнение эллипса
\(A{x^2} + Bxy + C{y^2} + Dx + Ey + F = 0\),
где \({B^2} - 4AC < 0\)

Общее уравнение эллипса, полуоси которого параллельны осям координат
\(A{x^2} + C{y^2} + Dx + Ey + F = 0\),
где \(AC > 0\).

Периметр эллипса
\(L = 4aE\left( e \right)\),
где \(a\) − большая полуось эллипса, \(e\) − эксцентриситет, \(E\) − полный эллиптический интеграл второго рода.

Приближенные формулы для периметра эллипса
\(L \approx \pi \left[ {\large\frac{3}{2}\normalsize\left( {a + b} \right) - \sqrt {ab} } \right],\;\;L \approx \pi \sqrt {2\left( {{a^2} + {b^2}} \right)},\)
где \(a\), \(b\) − полуоси эллипса.

Площадь эллипса  
\(S = \pi ab\)