Math24.ru
Формулы и Таблицы
Главная
Математический анализ
Пределы и непрерывность
Дифференцирование
Приложения производной
Интегрирование
Последовательности и ряды
Двойные интегралы
Тройные интегралы
Криволинейные интегралы
Поверхностные интегралы
Ряды Фурье
Дифференциальные уравнения
Уравнения 1-го порядка
Уравнения 2-го порядка
Уравнения N-го порядка
Системы уравнений
Формулы и таблицы
Powered by MathJax
   Окружность и эллипс
Радиус окружности: \(R\)
Центр окружности, полуоси эллипса: \(a\), \(b\)
Координаты точек: \(x\), \(y\), \({x_1}\), \({y_1}, \ldots \)
Действительные числа: \(A\), \(B\), \(C\), \(D\), \(E\), \(F\), \(t\)
Фокусы эллипса: \({F_1}\), \({F_2}\)
Фокусное расстояние: \(2c\)
Эксцентриситет эллипса: \(e\)
Эллиптический интеграл: \(E\)
Периметр: \(L\)
Площадь: \(S\)
  1. Окружностью называется замкнутая плоская кривая, все точки которой равноудалены от заданной точки (центра окружности). Расстояние от любой точки окружности \(P\left( {x,y} \right)\) до ее центра называется радиусом. Центр окружности и сама окружность лежат в одной и той же плоскости. Уравнение окружности радиуса \(R\) с центром в начале координат (каноническое уравнение окружности) имеет вид
    \({x^2} + {y^2} = {R^2}\).

    уравнение окружности с центром в начале координат

  2. Уравнение окружности радиуса \(R\) с центром в произвольной точке \(A\left( {a,b} \right)\) записывается как
    \({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} = {R^2}\).

    уравнение окружности с центром в произвольной точке

  3. Уравнение окружности, проходящей через три точки, записывается в виде: \(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{x^2} + {y^2}} & x & y & 1\\ {x_1^2 + y_1^2} & {{x_1}} & {{y_1}} & 1\\ {x_2^2 + y_2^2} & {{x_2}} & {{y_2}} & 1\\ {x_3^2 + y_3^2} & {{x_3}} & {{y_3}} & 1 \end{array}} \right| = 0.\\\)
    Здесь \(A\left( {{x_1},{y_1}} \right)\), \(B\left( {{x_2},{y_2}} \right)\), \(C\left( {{x_3},{y_3}} \right)\) − три точки, лежащие на окружности.

    уравнение окружности, проходящей через три точки

  4. Уравнение окружности в параметрической форме  
    \( \left\{ \begin{aligned} x &= R \cos t \\ y &= R\sin t \end{aligned} \right., \;\;0 \le t \le 2\pi\),
    где \(x\), \(y\) − координаты точек окружности, \(R\) − радиус окружности, \(t\) − параметр.

  5. Общее уравнение окружности
    \(A{x^2} + A{y^2} + Dx + Ey + F = 0\)
    при условии \(A \ne 0\), \(D^2 + E^2 > 4AF\).
    Центр окружности расположен в точке с координатами \(\left( {a,b} \right)\), где
    \(a = - \large\frac{D}{{2A}}\normalsize,\;\;b = - \large\frac{E}{{2A}}\normalsize.\)
    Радиус окружности равен
    \(R = \sqrt {\large\frac{{{D^2} + {E^2} - 4AF}}{{2\left| A \right|}}\normalsize} \)

  6. Эллипсом называется плоская кривая, для каждой точки которой сумма расстояний до двух заданных точек (фокусов эллипса) постоянна. Расстояние между фокусами называется фокусным расстоянием и обозначается через \(2c\). Середина отрезка, соединяющего фокусы, называется центром эллипса. У эллипса есть две оси симметрии: первая или фокальная ось, проходящая через фокусы, и перпендикулярная ей вторая ось. Точки пересечения этих осей с эллипсом называются вершинами. Отрезок, соединяющий центр эллипса с вершиной, называется полуосью эллипса. Большая полуось обозначается через \(a\), малая полуось − через \(b\). Эллипс, центр которого находится в начале координат, а полуоси лежат на координатных прямых, описывается следующим каноническим уравнением:
    \(\large\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}}\normalsize + \large\frac{{{y^2}}}{{{b^2}}}\normalsize = 1.\)

    эллипс

  7. Сумма расстояний от любой точки эллипса до его фокусов постоянна:
    \({r_1} + {r_2} = 2a\),
    где \({r_1}\), \({r_2}\) − расстояния от произвольной точки \(P\left( {x,y} \right)\) до фокусов \({F_1}\) и \({F_2}\), \(a\) − большая полуось эллипса.

    основное свойство эллипса

  8. Соотношение между полуосями эллипса и фокусным расстоянием
    \({a^2} = {b^2} + {c^2}\),
    где \(a\) − большая полуось эллипса, \(b\) − малая полуось, \(c\) − половина фокусного расстояния.

  9. Эксцентриситет эллипса  
    \(e = \large\frac{c}{a}\normalsize < 1\)

  10. Уравнения директрис эллипса
    Директрисой эллипса называется прямая, перпендикулярная его фокальной оси и пересекающая ее на расстоянии \(\large\frac{a}{e}\normalsize\) от центра. Эллипс имеет две директрисы, отстоящие по разные стороны от центра. Уравнения директрис записываются в виде
    \(x = \pm \large\frac{a}{e}\normalsize = \pm \large\frac{{{a^2}}}{c}\normalsize.\)

  11. Уравнение эллипса в параметрической форме
    \( \left\{ \begin{aligned} x &= a\cos t \\ y &= b\sin t \end{aligned} \right., \;\;0 \le t \le 2\pi\),
    где \(a\), \(b\) − полуоси эллипса, \(t\) − параметр.

  12. Общее уравнение эллипса
    \(A{x^2} + Bxy + C{y^2} + Dx + Ey + F = 0\),
    где \({B^2} - 4AC < 0\)

  13. Общее уравнение эллипса, полуоси которого параллельны осям координат
    \(A{x^2} + C{y^2} + Dx + Ey + F = 0\),
    где \(AC > 0\).

  14. Периметр эллипса
    \(L = 4aE\left( e \right)\),
    где \(a\) − большая полуось эллипса, \(e\) − эксцентриситет, \(E\) − полный эллиптический интеграл второго рода.

  15. Приближенные формулы для периметра эллипса
    \(L \approx \pi \left[ {\large\frac{3}{2}\normalsize\left( {a + b} \right) - \sqrt {ab} } \right],\;\;L \approx \pi \sqrt {2\left( {{a^2} + {b^2}} \right)},\)
    где \(a\), \(b\) − полуоси эллипса.

  16. Площадь эллипса  
    \(S = \pi ab\)



Все права защищены © www.math24.ru, 2009-2016   info@math24.ru
Сайт оптимизирован для Chrome, Firefox, Safari и Internet Explorer.