Math24.ru
Формулы и Таблицы
Главная
Математический анализ
Пределы и непрерывность
Дифференцирование
Приложения производной
Интегрирование
Последовательности и ряды
Двойные интегралы
Тройные интегралы
Криволинейные интегралы
Поверхностные интегралы
Ряды Фурье
Дифференциальные уравнения
Уравнения 1-го порядка
Уравнения 2-го порядка
Уравнения N-го порядка
Системы уравнений
Формулы и таблицы
Powered by MathJax
   Окружность и круг
Радиус окружности (круга): \(R\)
Диаметр окружности (круга): \(D\)
Длина хорды: \(a\)
Отрезки хорды: \({a_1}\), \({a_2}\), \({b_1}\), \({b_2}\)
Меры или длины дуг: \(s\),\({s_1}\), \({s_2}\)
Отрезки секущей: \(e\), \({e_1}\), \(f\), \({f_1}\)
Координаты центра окружности: \({x_0}\), \({y_0}\)
Координаты точек окружности: \(x\), \(y\)
Высота сегмента: \(h\)
Центральный угол: \(\alpha\), \(x\)
Вписанный угол: \(\beta\)
Угол между хордами: \(\varphi\)
Угол между секущими: \(\gamma\)
Угол между секущей и касательной: \(\delta\)
Угол между касательной и хордой: \(\theta\)
Угол между касательными: \(\eta\)
Периметр: \(P\)
Площадь: \(S\)
  1. Окружность − это геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от некоторой заданной точки (центра окружности). Расстояние между любой точкой окружности и ее центром называется радиусом окружности.

  2. Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется хордой. Хорда, проходящая через центр окружности, представляет собой диаметр. Диаметр окружности равен ее удвоенному радиусу:
    \(D = 2R\)

  3. Центральный угол − это угол, вершина которого совпадает с центром окружности. Соотношение между хордой и центральным углом имеет вид:
    \(a = 2R\sin \large\frac{\alpha }{2}\normalsize\)

    окружность радиуса R с хордой, дугой и центральным углом

  4. Дугой называется часть окружности, заключенная между двумя точками. Мерой дуги (в градусах или радианах) является центральный угол, опирающийся на данную дугу. Длина дуги определяется соотношением
    \(s = \alpha R\),
    где \(\alpha\) − центральный угол, выраженный в радианах, \(R\) − радиус окружности.

  5. Вписанный угол − это угол, вершина которого лежит на окружности, а cтороны угла пересекают ее. Вписанный угол равен половине центрального, если оба угла опираются на одну и ту же дугу окружности:
    \(\beta = \large\frac{\alpha }{2}\normalsize\),

    окружность с центральным и вписанными углами

  6. Точка пересечения двух хорд делит каждую хорду на отрезки, произведение которых одинаково:
    \({a_1}{a_2} = {b_1}{b_2}\)

    окружность с двумя пересекающимися хордами

  7. Угол между пересекающимися хордами равен полусумме противоположных дуг, высекаемых хордами:
    \(\varphi = \large\frac{{{s_1} + {s_2}}}{2}\normalsize\),
    где \({s_1}\), \({s_2}\) − меры дуг (в градусах или радианах).

  8. Секущей называется прямая, проходящая через две различные точки окружности. Для любых двух секущих, проведенных из произвольной точки вне окружности, произведение длины первой секущей на ее внешнюю часть равно произведение длины второй секущей на ее внешнюю часть:
    \(e{e_1} = f{f_1}\)

    окружность с двумя секущими

  9. Угол между секущими, проведенными из произвольной точки вне окружности, равен полуразности большей и меньшей дуг, высекаемых данными секущими:
    \(\gamma = \large\frac{{{s_1} - {s_2}}}{2}\normalsize\),
    где \({s_1}\), \({s_2}\) − меры соответствующих дуг (в градусах или радианах).

  10. Для любой секущей и касательной, проведенных из произвольной точки вне окружности, произведение длины секущей на ее внешнюю часть равно квадрату длины касательной:
    \(f{f_1} = {g^2}\)

    окружность с секущей и касательной

  11. Угол между секущей и касательной, проведенными из произвольной точки, равен полуразности высекаемых дуг:
    \(\delta = \large\frac{{{s_1} - {s_2}}}{2}\normalsize\),
    где \({s_1}\), \({s_2}\) − меры соответствующих дуг.

  12. Угол между касательной и хордой, проходящей через точку касания, равен половине дуги, стягиваемой хордой:
    \(\theta = \large\frac{s}{2}\normalsize = \large\frac{\alpha }{2}\normalsize\)

    угол между касательной и хордой

  13. Касательная всегда перпендикулярна радиусу, проведенному к точке касания.

  14. Угол между двумя касательными, проведенными к окружности из произвольной точки, равен полуразности высекаемых дуг:
    \(\eta = \large\frac{{{s_1} - {s_2}}}{2}\normalsize\),
    где \({s_1}\), \({s_2}\) − меры соответствующих дуг (в градусах или радианах).

    угол между двумя касательными к окружности

  15. Уравнение окружности в декартовой системе координат
    \({\left( {x - {x_0}} \right)^2} + {\left( {y - {y_0}} \right)^2} = {R^2}\),
    где \({x_0}\), \({y_0}\) − координаты центра окружности, \(R\) − ее радиус, \({x,y}\) − координаты точек окружности.

  16. Периметр окружности  
    \(P = 2\pi R = \pi D\)

  17. Кругом называется часть плоскости, ограниченная окружностью и включающая ее центр.

  18. Площадь круга  
    \(S = \pi {R^2} = \large\frac{{\pi {D^2}}}{4}\normalsize = \large\frac{{PR}}{2}\normalsize\)

  19. Сектором круга называется геометрическая фигура, ограниченная двумя радиусами и дугой, на которую опираются данные радиусы.

    сектор круга

  20. Периметр сектора
    \(P = s + 2R\),
    где \(s\) − длина дуги, \(R\) − радиус круга.

  21. Площадь сектора
    \(S = \large\frac{{Rs}}{2}\normalsize = \large\frac{{{R^2}x}}{2}\normalsize = \large\frac{{\pi {R^2}\alpha }}{{360^\circ}}\normalsize\),
    где \(s\) − длина дуги, \(R\) − радиус круга, \(x\) − центральный угол в радианах, \(\alpha\) − центральный угол в градусах.

  22. Сегментом круга называется геометрическая фигура, ограниченная хордой и стягиваемой ею дугой.

    сегмент круга

  23. Высота сегмента  
    \(h = R - \large\frac{1}{2}\normalsize\sqrt {4{R^2} - {a^2}} ,\;\;h < R\)

  24. Соотношение между высотой сегмента и длиной хорды  
    \(a = 2\sqrt {2hR - {h^2}} \)

  25. Периметр сегмента
    \(P = s + a\),
    где \(s\) − длина дуги, \(a\) − длина хорды.

  26. Площадь сегмента
    \(S = \large\frac{1}{2}\normalsize\left[ {sR - a\left( {R - h} \right)} \right] = \large\frac{{{R^2}}}{2}\normalsize\left( {\large\frac{{\alpha \pi }}{{180^\circ}}\normalsize - \sin \alpha } \right) = \large\frac{{{R^2}}}{2}\normalsize\left( {x - \sin x} \right)\),
    где \(s\) − длина дуги, \(a\) − длина хорды, \(h\) − высота сегмента, \(R\) − радиус круга, \(x\) − центральный угол в радианах, \(\alpha\) − центральный угол в градусах.

  27. Приближенная формула для площади сегмента
    \(S \approx \large\frac{{2ha}}{3}\normalsize\).
    Здесь \(h\) − высота сегмента, \(a\) − длина хорды.



Все права защищены © www.math24.ru, 2009-2016   info@math24.ru
Сайт оптимизирован для Chrome, Firefox, Safari и Internet Explorer.