Math24.ru
Формулы и Таблицы
Главная
Математический анализ
Пределы и непрерывность
Дифференцирование
Приложения производной
Интегрирование
Последовательности и ряды
Двойные интегралы
Тройные интегралы
Криволинейные интегралы
Поверхностные интегралы
Ряды Фурье
Дифференциальные уравнения
Уравнения 1-го порядка
Уравнения 2-го порядка
Уравнения N-го порядка
Системы уравнений
Формулы и таблицы
Powered by MathJax
   Неравенства
Действительные числа: \(a\), \(b\), \(c\), \(d\), \(x\), \(m\), \(n\)
Положительные действительные числа: \({a_1}\), \({a_2}\), ..., \({a_n}\)
  1. Неравенства и промежутки числовой прямой  

  2. НеравенствоПромежутокГрафическое обозначение
    \(a \le x \le b\)\(\left[ {a,b} \right]\)замкнутый промежуток
    \(a \lt x \le b\)\(\left( {a,b} \right]\)полуоткрытый (слева) промежуток
    \(a \le x \lt b\)\(\left[ {a,b} \right)\)полуоткрытый (справа) промежуток
    \(a \lt x \lt b\)\(\left( {a,b} \right)\)открытый промежуток
    \( - \infty \lt x \le b\) или \(x \le b\)\(\left( {-\infty,b} \right]\)полуоткрытый бесконечный (слева) промежуток
    \( - \infty \lt x \lt b\)\(\left( {-\infty,b} \right)\)открытый бесконечный (слева) промежуток
    \(a \le x \lt \infty\) или \(x \ge a\)\(\left[ {a,\infty} \right)\)полуоткрытый бесконечный (справа) промежуток
    \(a \lt x \lt \infty\) или \(x \gt a\)\(\left( {a,\infty} \right)\)открытый бесконечный (слева) промежуток

  3. Строгие неравенства
    \(a < b\) означает "\(a\) меньше, чем \(b\)",
    \(a > b\) означает "\(a\) больше, чем \(b\)".

  4. Нестрогие неравенства
    \(a \le b\) означает "\(a\) меньше или равно \(b\)",
    \(a \ge b\) означает "\(a\) больше или равно \(b\)".

  5. Если \(a > b\), то \(b < a\).

  6. Если \(a > b\), то \(a - b > 0\) или (эквивалентно) \(b - a < 0\).

  7. Свойство транзитивности
    Если \(a > b\) и \(b > c\), то \(a > c\).

  8. Знак неравенства сохраняется, если к обеим частям прибавить одно и то же произвольное число:
    Если \(a > b\), то \(a + c > b + c\).

  9. Любое слагаемое можно перенести из одной части неравенства в другую, изменив его знак на противоположный:
    Если \(a + b > c\), то \(a > c - b\).

  10. Если \(a > b\) и \(c > d\), то \(a + c > b + d\).

  11. Если \(a > b\) и \(c > d\), то \(a - d > b - c\).

  12. Знак неравенства сохраняется, если обе части умножить на одно и то же положительное число:
    Если \(a > b\) и \(m > 0\), то \(ma > mb\).

  13. Знак неравенства сохраняется, если обе части разделить на одно и то же положительное число:
    Если \(a > b\) и \(m > 0\), то \(a/m > b/m\).

  14. Знак неравенства меняется на противоположный, если обе части умножить на одно и то же отрицательное число:
    Если \(a > b\) и \(m < 0\), то \(ma < mb\).

  15. Знак неравенства меняется на противоположный, если обе части разделить на одно и то же отрицательное число:
    Если \(a > b\) и \(m < 0\), то \(a/m < b/m\).

  16. Если \(a > b > 0\), то \(1/b > 1/a\).

  17. Умножение неравенств
    Если \(a > b > 0\) и \(c > d > 0\), то \(ac > bd\).

  18. Деление неравенств
    Если \(a \ge b > 0\) и \(c > d > 0\), то \(a/d > b/c\).

  19. Возведение неравенства в степень при положительном показателе
    Если \(a > b > 0\) и \(n > 0\), то \({a^n} > {b^n}\).

  20. Возведение неравенства в степень при отрицательном показателе
    Если \(a > b > 0\) и \(n < 0\), то \({a^n} < {b^n}\).

  21. Извлечение корня из неравенства
    Если \(a > b > 0\) и \(n > 0\), то \(\sqrt[\large n\normalsize]{a} > \sqrt[\large n\normalsize]{b}\).

  22. \(a + \large\frac{1}{a}\normalsize \ge 2\;\;\left( {a > 0} \right)\) 
    Равенство имеет место лишь при \(a = 1\).

  23. Неравенство Коши (соотношение между средним арифметическим и средним геометрическим)
    \(\sqrt {ab} \le \left( {a + b} \right)/2,\text { где }a > 0,b > 0\).
    Равенство выполняется лишь при \(a = b\).

  24. Неравенство Коши (случай нескольких переменных)
    \(\sqrt[n]{{{a_1}{a_2} \cdots {a_n}}} \le \large\frac{{{a_1} + {a_2} + \ldots + {a_n}}}{n}\normalsize,\text { где }{a_1},{a_2}, \ldots ,{a_n} > 0\).

  25. Линейное неравенство (случай \(a > 0\))
    Если \(ax + b > 0\) и \(a > 0\), то \(x > -b/a\).

  26. Линейное неравенство (случай \(a < 0\))
    Если \(ax + b > 0\) и \(a < 0\), то \(x < -b/a\).

  27. Квадратное неравенство
    \(a{x^2} + bx + c > 0\)

  28. \(a > 0\)\(a < 0\)
    \(D > 0\)парабола с двумя корнями и точкой минимума

    \(x < {x_1}\), \(x > {x_2}\)
    парабола с двумя корнями и точкой максимума

    \({x_1} < x < {x_2}\)
    \(D = 0\)парабола с одним корнем и точкой минимума

    \(x < {x_1}\), \(x > {x_1}\)
    парабола с одним корнем и точкой максимума

    \(x \in \emptyset\)
    \(D < 0\)парабола с точкой минимума, не имеющая корней

    \( - \infty < x < \infty \)
    парабола с точкой максимума, не имеющая корней

    \(x \in \emptyset\)

  29. \(\left| {a + b} \right| \le \left| a \right| + \left| b \right|\) 

  30. Если \(\left| x \right| < a\), то \(-a < x < a\), где \(a > 0\).

  31. Если \(\left| x \right| > a\), то \(x < -a\) и \(x > a\), где \(a > 0\).

  32. Если \({x^2} < a\), то \(\left| x \right| < \sqrt a \), где \(a > 0\).

  33. Если \({x^2} > a\), то \(\left| x \right| > \sqrt a \), где \(a > 0\).

  34. \(\large\frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}}\normalsize > 0,\;\; \Leftrightarrow \;f\left( x \right)g\left( x \right) > 0\;\; \Leftrightarrow \;\begin{cases} {f\left( x \right)} > 0 \\ {g\left( x \right)} > 0 \end{cases} \;\text { или }\; \begin{cases} {f\left( x \right)} < 0 \\ {g\left( x \right)} < 0 \end{cases}. \) 

  35. \(\large\frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}}\normalsize < 0,\;\; \Leftrightarrow \;f\left( x \right)g\left( x \right) < 0\;\; \Leftrightarrow \;\begin{cases} {f\left( x \right)} > 0 \\ {g\left( x \right)} < 0 \end{cases} \;\text { или }\; \begin{cases} {f\left( x \right)} < 0 \\ {g\left( x \right)} > 0 \end{cases}. \) 

  36. \(\large\frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}}\normalsize \ge 0,\;\; \Leftrightarrow \; \begin{cases} {f\left( x \right) g\left( x \right)} \ge 0 \\ {g\left( x \right)} \ne 0 \end{cases} \; \Leftrightarrow \;\begin{cases} {f\left( x \right)} \ge 0 \\ {g\left( x \right)} > 0 \end{cases} \;\text { или }\; \begin{cases} {f\left( x \right)} \le 0 \\ {g\left( x \right)} < 0 \end{cases}. \) 

  37. \(\large\frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}}\normalsize \le 0,\;\; \Leftrightarrow \; \begin{cases} {f\left( x \right) g\left( x \right)} \le 0 \\ {g\left( x \right)} \ne 0 \end{cases} \; \Leftrightarrow \;\begin{cases} {f\left( x \right)} \le 0 \\ {g\left( x \right)} > 0 \end{cases} \;\text { или }\; \begin{cases} {f\left( x \right)} \ge 0 \\ {g\left( x \right)} < 0 \end{cases}. \) 



Все права защищены © www.math24.ru, 2009-2016   info@math24.ru
Сайт оптимизирован для Chrome, Firefox, Safari и Internet Explorer.