Math24.ru
Дифференциальные Уравнения
Главная
Математический анализ
Пределы и непрерывность
Дифференцирование
Приложения производной
Интегрирование
Последовательности и ряды
Двойные интегралы
Тройные интегралы
Криволинейные интегралы
Поверхностные интегралы
Ряды Фурье
Дифференциальные уравнения
Уравнения 1-го порядка
Уравнения 2-го порядка
Уравнения N-го порядка
Системы уравнений
Формулы и таблицы
Powered by MathJax
   Неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с переменными коэффициентами
Определение и общая схема решения
Линейное неоднородное уравнение второго порядка с переменными коэффициентами имеет вид \[y'' + {a_1}\left( x \right)y' + {a_2}\left( x \right)y = f\left( x \right),\] где \({a_1}\left( x \right),\) \({a_2}\left( x \right)\) и \(f\left( x \right)\) − непрерывные функции на отрезке \(\left[ {a,b} \right].\)

Соответствующее однородное уравнение записывается в виде \[y'' + {a_1}\left( x \right)y' + {a_2}\left( x \right)y = 0.\] Общее решение неоднородного уравнения представляет собой сумму общего решения \({y_0}\left( x \right)\) ассоциированного однородного уравнения и частного решения \(Y\left( x \right)\) неоднородного уравнения: \[y\left( x \right) = {y_0}\left( x \right) + Y\left( x \right).\] Для построения общего решения неоднородного уравнения чаще всего используют следующий подход:
  1. Сначала путем подбора находят частное решение однородного уравнения.

  2. Затем по формуле Лиувилля-Остроградского получают общее решение однородного уравнения.

  3. Далее методом вариации постоянных (методом Лагранжа) определяют общее решение неоднородного уравнения.

Первые два пункта описанной схемы рассмотрены на странице Однородные дифференциальные уравнения второго порядка с переменными коэффициентами. Ниже мы рассмотрим подробнее третий шаг, то есть метод вариации постоянных.
Метод вариации постоянных
Метод вариации постоянных (или метод Лагранжа) используется для построения общего решения неоднородного уравнения, когда известно общее решение ассоциированного с ним однородного уравнения.

Пусть общее решение однородного уравнения \(2\)-го порядка выражается через фундаментальную систему решений \({y_1}\left( x \right)\) и \({y_2}\left( x \right):\) \[{y_0}\left( x \right) = {C_1}{y_1}\left( x \right) + {C_2}{y_2}\left( x \right),\] где \({C_1},{C_2}\) − произвольные постоянные. Идея данного метода состоит в том, что вместо постоянных \({C_1}\) и \({C_2}\) рассматриваются функции \({C_1}\left( x \right)\) и \({C_2}\left( x \right),\) которые подбираются таким образом, чтобы решение удовлетворяло неоднородному уравнению.

Производные неизвестных функций \({C_1}\left( x \right)\) и \({C_2}\left( x \right)\) можно определить из системы уравнений \[\left\{ \begin{array}{l} {C'_1}\left( x \right){y_1}\left( x \right) + {C'_2}\left( x \right){y_2}\left( x \right) = 0\\ {C'_1}\left( x \right){y'_1}\left( x \right) + {C'_2}\left( x \right){y'_2}\left( x \right) = f\left( x \right) \end{array} \right..\] Главным определителем этой системы является вронскиан функций \({y_1}\) и \({y_2},\) который не равен нулю в силу линейной независимости решений \({y_1}\) и \({y_2}.\) Поэтому данная система уравнений всегда имеет однозначное решение. Окончательные формулы для \({C'_1}\left( x \right)\) и \({C'_2}\left( x \right)\) имеют вид \[ {{C'_1}\left( x \right) = - \frac{{{y_2}\left( x \right)f\left( x \right)}}{{{W_{{y_1},{y_2}}}\left( x \right)}},}\;\; {{C'_2}\left( x \right) = \frac{{{y_1}\left( x \right)f\left( x \right)}}{{{W_{{y_1},{y_2}}}\left( x \right)}}.} \] Применяя метод вариации параметров, важно помнить, что функция \(f\left( x \right)\) должна соответствовать дифференциальному уравнению, приведенному к стандартному виду, т.е. коэффициент \({a_0}\left( x \right)\) перед старшей производной должен быть равен \(1.\)

Далее, зная производные \({C'_1}\left( x \right)\) и \({C'_2}\left( x \right),\) можно найти и сами функции \({C_1}\left( x \right)\) и \({C_2}\left( x \right):\) \[ {{C_1}\left( x \right) = - \int {\frac{{{y_2}\left( x \right)f\left( x \right)}}{{{W_{{y_1},{y_2}}}\left( x \right)}}dx} + {A_1},}\;\; {{C_2}\left( x \right) = \int {\frac{{{y_1}\left( x \right)f\left( x \right)}}{{{W_{{y_1},{y_2}}}\left( x \right)}}dx} + {A_2},} \] где \({A_1},\) \({A_2}\) − постоянные интегрирования.

Тогда общее решение исходного неоднородного уравнения будет выражаться формулой \[ {y\left( x \right) = {C_1}\left( x \right){y_1}\left( x \right) + {C_2}\left( x \right){y_2}\left( x \right) } = {\left[ { - \int {\frac{{{y_2}\left( x \right)f\left( x \right)}}{{{W_{{y_1},{y_2}}}\left( x \right)}}dx} + {A_1}} \right]{y_1}\left( x \right) } + {\left[ {\int {\frac{{{y_1}\left( x \right)f\left( x \right)}}{{{W_{{y_1},{y_2}}}\left( x \right)}}dx} + {A_2}} \right]{y_2}\left( x \right) } = {{A_1}{y_1}\left( x \right) + {A_2}{y_2}\left( x \right) + Y\left( x \right),} \] в которой \[ {Y\left( x \right) } = {{y_2}\left( x \right)\int {\frac{{{y_1}\left( x \right)f\left( x \right)}}{{{W_{{y_1},{y_2}}}\left( x \right)}}dx} } - {{y_1}\left( x \right)\int {\frac{{{y_2}\left( x \right)f\left( x \right)}}{{{W_{{y_1},{y_2}}}\left( x \right)}}dx} } \] обозначает частное решение неоднородного уравнения.

   Пример 1
Найти общее решение дифференциального уравнения \({x^2}y'' - 2xy' + 2y = {x^2} + 1\) (при \(x > 0\)).

Решение.
Рассмотрим сначала однородное уравнение и построим его фундаментальную систему решений. Можно заметить, что одним из решений однородного уравнения \[{x^2}y'' - 2xy' + 2y = 0\] является функция \({y_1} = x.\) Найдем второе независимое решение \({y_2}\) по формуле Лиувилля-Остроградского: \[ {{W_{{y_1}{y_2}}}\left( x \right) = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{y_1}}&{{y_2}}\\ {{y'_1}}&{{y'_2}} \end{array}} \right| } = {{C_1}\exp \left( { - \int {\frac{{{a_1}\left( x \right)}}{{{a_2}\left( x \right)}}dx} } \right).} \] Следовательно, \[ {{y'_2}{y_1} - {y_2}{y'_1} } = {{C_1}{e^{ - \int {\left( {\large\frac{{ - 2x}}{{{x^2}}}\normalsize} \right)dx} }} } = {{C_1}{e^{2\int {\large\frac{{dx}}{x}\normalsize} }} } = {{C_1}{e^{2\ln \left| x \right|}} } = {{C_1}{e^{\ln {x^2}}} } = {{C_1}{x^2}.} \] Делим обе части уравнения на \(y_1^2:\) \[ {\frac{{{y'_2}{y_1} - {y_2}{y'_1}}}{{y_1^2}} = \frac{{{C_1}{x^2}}}{{y_1^2}} = \frac{{{C_1}{x^2}}}{{{x^2}}} = {C_1},}\;\; {\Rightarrow {\left( {\frac{{{y_2}}}{{{y_1}}}} \right)^\prime } = {C_1}.} \] После интегрирования имеем \[ {\frac{{{y_2}}}{{{y_1}}} = {C_1}x + {C_2},}\;\; {\Rightarrow {y_2} = {y_1}\left( {{C_1}x + {C_2}} \right) = x\left( {{C_1}x + {C_2}} \right) = {C_1}{x^2} + {C_2}x.} \] Итак, общее решение однородного уравнения выражается функцией \[{y_0}\left( x \right) = {C_1}{x^2} + {C_2}x,\] где \({C_1},\) \({C_2}\) − произвольные постоянные.

Теперь воспользуемся методом вариации постоянных и построим общее решение неоднородного уравнения. Будем рассматривать параметры \({C_1}\) и \({C_2}\) как функции от переменной \(x.\) Производные этих функций определяются из системы уравнений \[\left\{ \begin{array}{l} {C'_1}{x^2} + {C'_2}x = 0\\ {C'_1}{\left( {{x^2}} \right)^\prime } + {C'_2}{\left( x \right)^\prime } = 1 + \frac{1}{{{x^2}}} \end{array} \right..\] Здесь правая часть \(1 + \large\frac{1}{{{x^2}}}\normalsize\) во втором уравнении записана после преобразования исходного дифференциального уравнения в стандартную форму: \[ {{x^2}y'' - 2xy' + 2y = {x^2} + 1,}\;\; {\Rightarrow y'' - \frac{2}{x}y' + \frac{2}{{{x^2}}}y = 1 + \frac{1}{{{x^2}}}.} \] Решая данную систему уравнений, находим производные \({C'_1}\left( x \right),\) \({C'_2}\left( x \right)\) и затем сами функции \({C_1}\left( x \right)\) и \({C_2}\left( x \right).\) Имеем \[ {{C'_1} = \frac{1}{x} + \frac{1}{{{x^3}}},}\;\; {{C'_2} = - 1 - \frac{1}{{{x^2}}},}\;\; {\Rightarrow {C_1} = \ln x - \frac{1}{{2{x^2}}} + {A_1},}\;\; {{C_2} = - x + \frac{1}{x} + {A_2},} \] где \({A_1},{A_2}\) − постоянные интегрирования.

В результате получаем общее решение неоднородного уравнения в виде \[ {y\left( x \right) = {C_1}\left( x \right){x^2} + {C_2}\left( x \right)x } = {\left( {\ln x - \frac{1}{{2{x^2}}} + {A_1}} \right){x^2} + \left( { - x + \frac{1}{x} + {A_2}} \right)x } = {{A_1}{x^2} + {A_2}x + {x^2}\left( {\ln x - 1} \right) + \frac{1}{2}.} \]
   Пример 2
Найти общее решение неоднородного дифференциального уравнения \[ {\left( {\ln x - 1} \right)y'' - \frac{{y'}}{x} + \frac{y}{{{x^2}}} = \frac{{{{\left( {\ln x - 1} \right)}^2}}}{x},}\;\; {\left( {x > e} \right).} \] Известно частное решение соответствующего однородного уравнения: \({y_1} = x.\)

Решение.
Сначала определим общее решение однородного уравнения \[\left( {\ln x - 1} \right)y'' - \frac{{y'}}{x} + \frac{y}{{{x^2}}} = 0.\] Одно из решений известно: \({y_1} = x.\) Тогда по формуле Лиувилля-Остроградского получаем \[ {{W_{{y_1},{y_2}}}\left( x \right) } = {\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{y_1}}&{{y_2}}\\ {{y'_1}}&{{y'_2}} \end{array}} \right| = {C_1}\exp \left[ { - \int {\frac{{{a_1}\left( x \right)}}{{{a_2}\left( x \right)}}dx} } \right],}\;\; {\Rightarrow {y'_2}{y_1} - {y_2}{y'_1} = {C_1}\exp \left[ { - \int {\left( {\frac{{ - \frac{1}{x}}}{{\ln x - 1}}} \right)dx} } \right] } = {{C_1}\exp \left[ {\int {\frac{{dx}}{{x\left( {\ln x - 1} \right)}}} } \right].} \] Интеграл в последнем выражении вычисляется с помощью замены: \[\ln x - 1 = t,\;\; \Rightarrow \frac{{dx}}{x} = dt.\] Следовательно, \[ {\int {\frac{{dx}}{{x\left( {\ln x - 1} \right)}}} } = {\int {\frac{{dt}}{t}} } = {\ln t } = {\ln \left( {\ln x - 1} \right).} \] В результате получаем соотношение \[ {{y'_2}{y_1} - {y_2}{y'_1} = {C_1}{e^{\ln \left( {\ln x - 1} \right)}},}\;\; {\Rightarrow {y'_2}{y_1} - {y_2}{y'_1} = {C_1}\left( {\ln x - 1} \right).} \] Разделим обе части на \(y_1^2:\) \[ {\frac{{{y'_2}{y_1} - {y_2}{y'_1}}}{{y_1^2}} = \frac{{{C_1}\left( {\ln x - 1} \right)}}{{y_1^2}},}\;\; {\Rightarrow {\left( {\frac{{{y_2}}}{{{y_1}}}} \right)^\prime } = \frac{{{C_1}\left( {\ln x - 1} \right)}}{{{x^2}}},}\;\; {\Rightarrow \frac{{{y_2}}}{{{y_1}}} = {C_1}\int {\frac{{\ln x - 1}}{{{x^2}}}dx} .} \] Полученный интеграл находится интегрированием по частям по формуле \(\int {u'vdx} = uv - \int {uv'dx} .\) Обозначим \[ {u' = \frac{1}{{{x^2}}},\;\;v = \ln x - 1,}\;\; {\Rightarrow u = - \frac{1}{x},\;\;v' = \frac{1}{x}.} \] Интеграл будет равен \[ {\int {\frac{{\ln x - 1}}{{{x^2}}}dx} } = { - \frac{{\ln x - 1}}{x} - \int {\left( { - \frac{1}{x}} \right)\left( {\frac{1}{x}} \right)dx} } = { - \frac{{\ln x - 1}}{x} + \int {\frac{{dx}}{{{x^2}}}} } = { - \frac{{\ln x - 1}}{x} - \frac{1}{x} + {C_2}.} \] Тогда, учитывая, что коэффициенты \({C_1},\) \({C_2}\) − произвольные числа, можно записать \[ {\frac{{{y_2}}}{{{y_1}}} = {C_1}\left[ { - \frac{{\ln x - 1}}{x} - \frac{1}{x} + {C_2}} \right] } = {{C_1}\frac{{\ln x}}{x} + {C_2}.} \] Отсюда получаем: \[ {{y_2} = {y_1}\left( {{C_1}\frac{{\ln x}}{x} + {C_2}} \right) } = {x\left( {{C_1}\frac{{\ln x}}{x} + {C_2}} \right) } = {{C_1}\ln x + {C_2}x.} \] Данное выражение представляет собой общее решение однородного уравнения.

Теперь, используя метод вариации постоянных, найдем общее решение неоднородного уравнения, которое в стандартном виде записывается как \[y'' - \frac{{y'}}{{x\left( {\ln x - 1} \right)}} + \frac{y}{{{x^2}\left( {\ln x - 1} \right)}} = \frac{{\ln x - 1}}{x}.\] Полагая, что \[y\left( x \right) = {C_1}\left( x \right)\ln x + {C_2}\left( x \right)x,\] найдем функции \({C_1}\left( x \right)\) и \({C_2}\left( x \right)\) из системы уравнений \[ {\left\{ \begin{array}{l} {C'_1}\ln x + {C'_2}x = 0\\ {C'_1}{\left( {\ln x} \right)^\prime } + {C'_2}{\left( x \right)^\prime } = \frac{{\ln x - 1}}{x} \end{array} \right.,}\;\; {\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} {C'_1}\ln x + {C'_2}x = 0\\ \frac{{{C'_1}}}{x} + {C'_2} = \frac{{\ln x - 1}}{x} \end{array} \right..} \] Умножим второе уравнение на \(x\) и вычтем из него первое уравнение: \[ {\left\{ \begin{array}{l} {C'_1}\ln x + {C'_2}x = 0\\ {C'_1} + {C'_2}x = \ln x - 1 \end{array} \right.,}\;\; {\Rightarrow {C'_1}\left( {1 - \ln x} \right) = \ln x - 1,}\;\; {\Rightarrow {C'_1} = - 1.} \] Далее, подставляя \({C'_1},\) например, в первое уравнение, находим \({C'_2}:\) \[ {- \ln x + {C'_2}x = 0,}\;\; {\Rightarrow {C'_2} = \frac{{\ln x}}{x}.} \] Интегрируя, получаем: \[ {{C_1} = \int {\left( { - 1} \right)dx} = - x + {A_1},}\;\; {{C_2} = \int {\frac{{\ln x}}{x}dx} } = {\int {\ln x\,d\left( {\ln x} \right)} } = {\frac{{{{\ln }^2}x}}{2} + {A_2},} \] где \({A_1},{A_2}\) − постоянные интегрирования.

Итак, общее решение исходного неоднородного уравнения имеет вид: \[ {y\left( x \right) = {C_1}\left( x \right)\ln x + {C_2}\left( x \right)x } = {\left( { - x + {A_1}} \right)\ln x + \left( {\frac{{{{\ln }^2}x}}{2} + {A_2}} \right)x } = {{A_1}\ln x + {A_2}x + \frac{x}{2}\ln x\left( {\ln x - 2} \right).} \]
   Пример 3
Найти общее решение неоднородного дифференциального уравнения \(\left( {x - 1} \right)y'' - xy' + y = {\left( {x - 1} \right)^2}\) (при \(x > 1\)), если известно что функция \({y_1} = {e^x}\) является частным решением соответствующего однородного уравнения.

Решение.
Найдем второе независимое решение однородного уравнения \[\left( {x - 1} \right)y'' - xy' + y = 0,\] используя формулу Лиувилля-Остроградского. Учитывая, что \({y_1} = {e^x},\) имеем: \[ {{W_{{y_1},{y_2}}}\left( x \right) } = {\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{y_1}}&{{y_2}}\\ {{y'_1}}&{{y'_2}} \end{array}} \right| = {C_1}\exp \left[ { - \int {\frac{{{a_1}\left( x \right)}}{{{a_2}\left( x \right)}}dx} } \right],}\;\; {\Rightarrow {y'_2}{y_1} - {y_2}{y'_1} = {C_1}\exp \left[ { - \int {\left( {\frac{{ - x}}{{x - 1}}} \right)dx} } \right] } = {{C_1}\exp \left[ {\int {\frac{x}{{x - 1}}dx} } \right] } = {{C_1}\exp \left[ {\int {\frac{{x - 1 + 1}}{{x - 1}}dx} } \right] } = {{C_1}\exp \left[ {\int {\left( {1 + \frac{1}{{x - 1}}} \right)dx} } \right] } = {{C_1}{e^{x + \ln \left| {x - 1} \right|}} } = {{C_1}{e^x}{e^{\ln \left| {x - 1} \right|}} } = {{C_1}\left( {x - 1} \right){e^x}.} \] Здесь мы учли, что \(x > 1\) по условию задачи. Разделив уравнение на \(y_1^2 = {e^{2x}},\) получаем \[ {\frac{{{y'_2}{y_1} - {y_2}{y'_1}}}{{y_1^2}} = \frac{{{C_1}\left( {x - 1} \right){e^x}}}{{y_1^2}},}\;\; {\Rightarrow {\left( {\frac{{{y_2}}}{{{y_1}}}} \right)^\prime } } = {\frac{{{C_1}\left( {x - 1} \right){e^x}}}{{{e^{2x}}}} } = {{C_1}\left( {x - 1} \right){e^{ - x}}.} \] Проинтегрируем полученное выражение по частям. \[ {\frac{{{y_2}}}{{{y_1}}} = {C_1}\int {\left( {x - 1} \right){e^{ - x}}dx} } = {\left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {u' = {e^{ - x}}}\\ {v = x - 1}\\ {u = - {e^{ - x}}}\\ {v' = 1} \end{array}} \right] } = {{C_1}\left[ { - \left( {x - 1} \right){e^{ - x}} - \int {\left( { - {e^{ - x}}} \right)dx} } \right] } = {{C_1}\left[ { - \left( {x - 1} \right){e^{ - x}} + \int {{e^{ - x}}dx} } \right] } = {{C_1}\left[ { - \left( {x - 1} \right){e^{ - x}} - {e^{ - x}}} \right] + {C_2} } = { - {C_1}x{e^{ - x}} + {C_2}.} \] Отсюда видно, что фундаментальная система решений состоит из функций \({e^x}, x.\) Переобозначая постоянные \({C_1}, {C_2},\) можно общее решение однородного уравнения представить как \[{y_0}\left( x \right) = {C_1}{e^x} + {C_2}x.\] Теперь построим общее решение неоднородного уравнения. В соответствии с методом вариации постоянных будем искать его в виде \[y\left( x \right) = {C_1}\left( x \right){e^x} + {C_2}\left( x \right)x,\] где \({C_1}\left( x \right),\) \({C_2}\left( x \right)\) − неизвестные функции, которые определяются из системы уравнений \[\left\{ \begin{array}{l} {C'_1}{e^x} + {C'_2}x = 0\\ {C'_1}{e^x} + {C'_2} \cdot 1 = \frac{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}{{x - 1}} = x - 1 \end{array} \right..\] Вычитая второе уравнение из первого, получаем \[{C'_2}\left( {x - 1} \right) = - \left( {x - 1} \right),\;\; \Rightarrow {C'_2} = - 1.\] Из первого уравнения находим: \[{C'_1}{e^x} - x = 0,\;\; \Rightarrow {C'_1} = \frac{x}{{{e^x}}} = x{e^{ - x}}.\] Проинтегрируем выражения для \({C'_1},\) \({C'_2}:\) \[{C_2} = \int {\left( { - 1} \right)dx} = - x + {A_2},\] \[ {{C_1} = \int {x{e^{ - x}}dx} } = {\left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {v = x}\\ {u' = {e^{ - x}}}\\ {u = - {e^{ - x}}}\\ {v' = 1} \end{array}} \right] } = {- x{e^{ - x}} - \int {\left( { - {e^{ - x}}} \right)dx} } = {- x{e^{ - x}} - {e^{ - x}} + {A_1}.} \] Итак, мы получили общее решение исходного уравнения в виде: \[ {y\left( x \right) = {C_1}\left( x \right){e^x} + {C_2}\left( x \right)x } = {\left( { - x{e^{ - x}} - {e^{ - x}} + {A_1}} \right){e^x} + \left( { - x + {A_2}} \right)x } = { - x - 1 + {A_1}{e^x} - {x^2} + {A_2}x } = {{A_1}{e^x} + {A_2}x - {x^2} - x - 1.} \]

Все права защищены © www.math24.ru, 2009-2016   info@math24.ru
Сайт оптимизирован для Chrome, Firefox, Safari и Internet Explorer.