Math24.ru
Дифференциальные Уравнения
Главная
Математический анализ
Пределы и непрерывность
Дифференцирование
Приложения производной
Интегрирование
Последовательности и ряды
Двойные интегралы
Тройные интегралы
Криволинейные интегралы
Поверхностные интегралы
Ряды Фурье
Дифференциальные уравнения
Уравнения 1-го порядка
Уравнения 2-го порядка
Уравнения N-го порядка
Системы уравнений
Формулы и таблицы
Powered by MathJax
   Нелинейный математический маятник
Дифференциальное уравнение колебаний
Математический маятник представляет собой идеальную модель, в которой материальная точка массой \(m\) подвешена на невесомой и нерастяжимой нити длиной \(L.\) В такой системе происходят периодические колебания, которые можно рассматривать как вращение маятника вокруг оси \(O\) (рисунок \(1\)).
колебания маятника под действием силы тяжести
полный эллиптический интеграл первого рода
Рис.1
Рис.2
Динамика вращательного движения описывается дифференциальным уравнением \[\varepsilon = \frac{{{d^2}\alpha }}{{d{t^2}}} = \frac{M}{I},\] где \(\varepsilon\) − угловое ускорение, \(M\) − момент силы, вызывающий вращение, \(I\) − момент инерции тела относительно оси вращения.

В нашем случае момент силы определяется проекцией силы тяжести на тангенциальное направление, т.е. \[M = - mgL\sin \alpha .\] Знак минус означает, что при положительном угле поворота \(\alpha\) (против часовой стрелки) момент сил вызывает вращение в противоположном направлении.

Момент инерции маятника выражается формулой \[I = m{L^2}.\] Тогда уравнение динамики принимает вид: \[\require{cancel} {\frac{{{d^2}\alpha }}{{d{t^2}}} = \frac{{ - \cancel{m}g\cancel{L}\sin \alpha }}{{\cancel{m}{L^\cancel{2}}}} = - \frac{{g\sin \alpha }}{L},}\;\; {\Rightarrow \frac{{{d^2}\alpha }}{{d{t^2}}} + \frac{g}{L}\sin \alpha = 0.} \] В случае малых колебаний полагают \(\sin \alpha \approx \alpha.\) В результате возникает линейное дифференциальное уравнение \[ {\frac{{{d^2}\alpha }}{{d{t^2}}} + \frac{g}{L}\alpha = 0}\;\; {\text{или}\;\;\frac{{{d^2}\alpha }}{{d{t^2}}} + {\omega ^2}\alpha = 0,} \] где \(\omega = \sqrt {\large\frac{g}{L}\normalsize} \) − круговая частота колебаний.

Период малых колебаний маятника описывается известной формулой \[T = \frac{{2\pi }}{\omega } = 2\pi \sqrt {\frac{L}{g}} .\] Однако при увеличении амплитуды колебаний линейное приближение перестает быть справедливым. В этом случае для корректного описания колебательной системы нужно решать исходное нелинейное дифференциальное уравнение.
Период колебаний нелинейного математического маятника
Итак, пусть маятник описывается нелинейным дифференциальным уравнением второго порядка \[\frac{{{d^2}\alpha }}{{d{t^2}}} + \frac{g}{L}\sin \alpha = 0.\] Будем рассматривать колебания при начальных условиях \[\alpha \left( {t = 0} \right) = {\alpha _0},\;\;\frac{{d\alpha }}{{dt}}\left( {t = 0} \right) = 0.\] Угол \({\alpha _0}\) представляет собой амплитуду колебаний.

Порядок уравнения можно понизить, если подобрать подходящий интегрирующий множитель. Умножим данное уравнение на интегрирующий множитель \(\large\frac{{d\alpha }}{{dt}}\normalsize.\) Это приводит к уравнению \[ {\frac{{{d^2}\alpha }}{{d{t^2}}}\frac{{d\alpha }}{{dt}} + \frac{g}{L}\sin \alpha \frac{{d\alpha }}{{dt}} = 0,}\;\; {\Rightarrow \;\;\frac{d}{{dt}}\left[ {\frac{1}{2}{{\left( {\frac{{d\alpha }}{{dt}}} \right)}^2} - \frac{g}{L}\cos\alpha } \right] = 0.} \] После интегрирования получаем дифференциальное уравнение первого порядка: \[{\left( {\frac{{d\alpha }}{{dt}}} \right)^2} - \frac{{2g}}{L}\cos\alpha = C.\] С учетом начальных условий находим постоянную \(C:\) \[C = - \frac{{2g}}{L}\cos{\alpha _0}.\] Тогда уравнение принимает вид: \[{\left( {\frac{{d\alpha }}{{dt}}} \right)^2} = \frac{{2g}}{L}\left( {\cos\alpha - \cos{\alpha _0}} \right).\] Далее применим тригонометрическую формулу двойного угла \[\cos\alpha = 1 - 2\,{\sin ^2}\frac{\alpha }{2},\] что приводит к следующему дифференциальному уравнению: \[ {{\left( {\frac{{d\alpha }}{{dt}}} \right)^2} = \frac{{4g}}{L}\left( {{{\sin }^2}\frac{{{\alpha _0}}}{2} - {{\sin }^2}\frac{\alpha }{2}} \right),}\;\; {\Rightarrow \frac{{d\alpha }}{{dt}} = 2\sqrt {\frac{g}{L}} \sqrt {{{\sin }^2}\frac{{{\alpha _0}}}{2} - {{\sin }^2}\frac{\alpha }{2}} .} \] Интегрируя это уравнение, получаем \[\int {\frac{{d\left( {\frac{\alpha }{2}} \right)}}{{\sqrt {{{\sin }^2}\frac{{{\alpha _0}}}{2} - {{\sin }^2}\frac{\alpha }{2}} }}} = \sqrt {\frac{g}{L}} \int {dt} .\] Обозначим \(\sin {\large\frac{{{\alpha _0}}}{2}\normalsize} = k\) и введем новую переменную \(\theta\) вместо угла \(\alpha:\) \[\sin \frac{\alpha }{2} = \sin \frac{{{\alpha _0}}}{2}\sin \theta = k\sin \theta .\] Тогда \[ {d\left( {\sin \frac{\alpha }{2}} \right) = \cos \frac{\alpha }{2}d\left( {\frac{\alpha }{2}} \right) } = {\sqrt {1 - {{\sin }^2}\frac{\alpha }{2}} d\left( {\frac{\alpha }{2}} \right) } = {\sqrt {1 - {k^2}\,{{\sin }^2}\theta } \,d\left( {\frac{\alpha }{2}} \right) } = {k\cos \theta d\theta .} \] Отсюда следует, что \[d\left( {\frac{\alpha }{2}} \right) = \frac{{k\cos \theta d\theta }}{{\sqrt {1 - {k^2}\,{{\sin }^2}\theta } }}.\] В новых обозначениях наше уравнение записывается как \[ {\int {\frac{{k\cos \theta d\theta }}{{\sqrt {1 - {k^2}\,{{\sin }^2}\theta } \sqrt {{k^2} - {k^2}\,{{\sin }^2}\theta } }}} = \sqrt {\frac{g}{L}} \int {dt} ,}\;\; {\Rightarrow \int {\frac{{\cancel{k\cos \theta} d\theta }}{{\sqrt {1 - {k^2}\,{{\sin }^2}\theta }\,\cancel{k\cos \theta} }}} = \sqrt {\frac{g}{L}} \int {dt} ,}\;\; {\Rightarrow \int {\frac{{d\theta }}{{\sqrt {1 - {k^2}\,{{\sin }^2}\theta } }}} = \sqrt {\frac{g}{L}} \int {dt} .} \] Обсудим пределы интегрирования. Прохождение маятником дуги от нижней точки \(\alpha = 0\) до максимального отклонения \(\alpha = {\alpha_0}\) соответствует четверти периода колебаний \(\large\frac{T}{4}\normalsize.\) Из соотношения между углами \(\alpha\) и \(\theta\) следует, что при \(\alpha = {\alpha_0}\) должно быть \(\sin \theta = 1\) или \(\theta = {\large\frac{\pi}{2}\normalsize}.\) Поэтому получаем следующее выражение для периода колебаний маятника: \[ {\sqrt {\frac{g}{L}} \frac{T}{4} = \int\limits_0^{\large\frac{\pi }{2}\normalsize} {\frac{{d\theta }}{{\sqrt {1 - {k^2}\,{{\sin }^2}\theta } }}} }\;\; {\text{или}\;\;T = 4\sqrt {\frac{L}{g}} \int\limits_0^{\large\frac{\pi }{2}\normalsize} {\frac{{d\theta }}{{\sqrt {1 - {k^2}\,{{\sin }^2}\theta } }}} .} \] Интеграл в правой части не выражается через элементарные функции. Он представляет собой так называемый полный эллиптический интеграл \(1\)-го рода: \[K\left( k \right) = \int\limits_0^{\large\frac{\pi }{2}\normalsize} {\frac{{d\theta }}{{\sqrt {1 - {k^2}\,{{\sin }^2}\theta } }}} .\] Функция \(K\left( k \right)\) вычисляется в большинстве математических пакетов. Ее график приведен выше на рисунке \(2.\) Функцию \(K\left( k \right)\) можно представить также в виде степенного ряда: \[ {K\left( k \right) = \frac{\pi }{2}\left\{ {1 + {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^2}{k^2} + {{\left( {\frac{{1 \cdot 3}}{{2 \cdot 4}}} \right)}^2}{k^4} + {{\left( {\frac{{1 \cdot 3 \cdot 5}}{{2 \cdot 4 \cdot 6}}} \right)}^2}{k^6} + \ldots } \right.} {\left. {\;+ {{\left[ {\frac{{\left( {2n - 1} \right)!!}}{{\left( {2n} \right)!!}}} \right]}^2}{k^{2n}} + \ldots } \right\},} \] где двойные факториалы \({\left( {2n - 1} \right)!!}\) и \({\left( {2n} \right)!!}\) обозначают произведение, соответственно, натуральных нечетных и четных чисел.

Заметим, что если мы ограничимся нулевым членом разложения, полагая \(K\left( k \right) \approx {\large\frac{\pi }{2}\normalsize},\) то получим известную формулу для периода малых колебаний маятника: \[{T_0} = 4\sqrt {\frac{L}{g}} K\left( k \right) \approx 4\sqrt {\frac{L}{g}} \frac{\pi }{2} = 2\pi \sqrt {\frac{L}{g}} .\] Последующие члены ряда при \(n \ge 1\) как раз позволяют учесть ангармонизм колебаний маятника и нелинейную зависимость периода \(T\) от амплитуды колебаний \({\alpha_0}.\)

   Пример
Оценить ошибку в расчете периода колебаний математического маятника в случае использования простейшей формулы \({T_0} = 2\pi \sqrt {\large\frac{L}{g}\normalsize} \) при различной амплитуде колебаний \({\alpha_0}.\)

Решение.
Воспользуемся решением более общего нелинейного уравнения колебаний маятника, в котором выражение для периода \(T\) представляется в виде ряда. С учетом члена \(n = 1\) формула \(T\left( {{\alpha _0}} \right)\) выглядит так: \[ {{T_1}\left( {{\alpha _0}} \right) = 4\sqrt {\frac{L}{g}} K\left( k \right) } = {4\sqrt {\frac{L}{g}} K\left( {\sin {\alpha _0}} \right) } = {4\sqrt {\frac{L}{g}} \left[ {\frac{\pi }{2}\left( {1 + \frac{1}{4}{{\sin }^2}\frac{{{\alpha _0}}}{2}} \right)} \right] } = {{T_0}\left( {1 + \frac{1}{4}{{\sin }^2}\frac{{{\alpha _0}}}{2}} \right),} \] где \({T_0}\) − период колебаний, вычисляемый по стандартной формуле \[{T_0} = 2\pi \sqrt {\frac{L}{g}} .\] Таким образом, слагаемое \({{\large\frac{1}{4}\normalsize} {{\sin }^2}{\large\frac{{{\alpha _0}}}{2}\normalsize}}\) сразу же показывает отклонение от стандартной формулы (в долях единицы) в зависимости от угла \({\alpha_0}.\)

Аналогичным образом учтем вклад последующих членов ряда при \(n = 2\) и \(n = 3.\) Соответствующие формулы имеют вид: \[{T_2}\left( {{\alpha _0}} \right) = {T_0}\left( {1 + \frac{1}{4}{{\sin }^2}\frac{{{\alpha _0}}}{2} + \frac{9}{{64}}{{\sin }^4}\frac{{{\alpha _0}}}{2}} \right),\] \[ {{T_3}\left( {{\alpha _0}} \right) = {T_0}\left( {1 + \frac{1}{4}{{\sin }^2}\frac{{{\alpha _0}}}{2} + \frac{9}{{64}}{{\sin }^4}\frac{{{\alpha _0}}}{2}} \right.} {\left. {\;+\;\frac{{225}}{{2304}}{{\sin }^6}\frac{{{\alpha _0}}}{2}} \right).} \] Представленные на рисунке \(3\) графики показывают значение выражения в квадратных скобках для функций \({T_1}\) и \({T_2}\) (в процентах), т.е. фактически дают ошибку в определении периода колебаний при использовании стандартной формулы \({T_0}\) по сравнению с более точными приближениями.
отклонение периода колебаний маятника от стандартной формулы с учетом нелинейных членов
Рис.3
Видно, что степенной ряд хорошо сходится, и в диапазоне углов до \({\alpha_0} = 20^{\circ}\) вполне можно ограничиться в разложении первым членом ряда \(n = 1,\) чтобы обеспечить точность расчета около \(1\%.\)

Все права защищены © www.math24.ru, 2009-2016   info@math24.ru
Сайт оптимизирован для Chrome, Firefox, Safari и Internet Explorer.