Math24.ru
Математический Анализ
Главная
Математический анализ
Пределы и непрерывность
Дифференцирование
Приложения производной
Интегрирование
Последовательности и ряды
Двойные интегралы
Тройные интегралы
Криволинейные интегралы
Поверхностные интегралы
Ряды Фурье
Дифференциальные уравнения
Уравнения 1-го порядка
Уравнения 2-го порядка
Уравнения N-го порядка
Системы уравнений
Формулы и таблицы
Powered by MathJax
   Метод замены переменной
Рассмотрим неопределенный интеграл \(F\left( x \right)\) от некоторой функции \(f\left( x \right).\) Для упрощения вычисления интеграла часто удобно выполнить замену переменной. Переход от \(x\) к новой переменной \(u\) описывается выражением \[ {\int {f\left( x \right)dx} } = {\int {f\left( {g\left( u \right)} \right)g'\left( u \right)du} } = {F\left( u \right) } = {F\left( {{g^{ - 1}}\left( x \right)} \right),} \] где \(x = g\left( u \right)\) − подстановка. Соответственно, обратная функция \(u = {g^{ - 1}}\left( x \right)\) описывает зависимость новой переменной от старой.

Важно иметь ввиду, что дифференциал \(dx\) должен быть заменен на дифференциал новой переменной \(du.\) Для определенного интеграла, кроме этого, необходимо также изменить пределы интегрирования. Смотрите об этом подробнее на странице "Определенный интеграл. Формула Ньютона-Лейбница".

   Пример 1
Вычислить \(\int {\large\frac{{dx}}{{\sqrt {{a^2} - {x^2}} }}\normalsize} .\)

Решение.
Сделаем замену \(u = \large\frac{x}{a}\normalsize.\) Тогда \(x = au,\) \(dx = adu.\) Следовательно, интеграл принимает вид \[\require{cancel} {\int {\frac{{dx}}{{\sqrt {{a^2} - {x^2}} }}} } = {\int {\frac{{adu}}{{\sqrt {{a^2} - {{\left( {au} \right)}^2}} }}} } = {\int {\frac{{adu}}{{\sqrt {{a^2}\left( {1 - {u^2}} \right)} }}} } = {\int {\frac{{\cancel{a}du}}{{\cancel{a}\sqrt {1 - {u^2}} }}} } = {\int {\frac{{du}}{{\sqrt {1 - {u^2}} }}} } = {\arcsin u + C } = {\arcsin \frac{x}{a} + C.} \]
   Пример 2
Вычислить интеграл \(\int {{\large\frac{{x + 1}}{{{x^2} + 2x - 5}}\normalsize} dx}. \)

Решение.
Применяем подстановку \(u = {x^2} + 2x - 5.\) Тогда \(du = 2xdx + 2 = 2\left( {x + 1} \right)dx\) или \(\left( {x + 1} \right)dx = \large\frac{{du}}{2}\normalsize.\) С использованием данной подстановки интеграл легко вычисляется: \[ {\int {\frac{{x + 1}}{{{x^2} + 2x - 5}}dx} } = {\int {\frac{{\frac{{du}}{2}}}{u}} } = {\frac{1}{2}\int {\frac{{du}}{u}} } = {\frac{1}{2}\ln \left| u \right| + C } = {\frac{1}{2}\ln \left| {{x^2} + 2x - 5} \right| + C.} \]
   Пример 3
Найти интеграл \(\int {{2^x}{e^x}dx} .\)

Решение.
Перепишем интеграл в виде \[\int {{2^x}{e^x}dx} = \int {{{\left( {2e} \right)}^x}dx} .\] Обозначая \(2e = a\) (это не замена переменной - аргументом по-прежнему остается \(x\)), получаем табличный интеграл \[ {\int {{{\left( {2e} \right)}^x}dx} } = {\int {{a^x}dx} } = {\frac{{{a^x}}}{{\ln a}} + C } = {\frac{{{{\left( {2e} \right)}^x}}}{{\ln \left( {2e} \right)}} + C } = {\frac{{{2^x}{e^x}}}{{\ln 2 + \ln e}} + C } = {\frac{{{2^x}{e^x}}}{{\ln 2 + 1}} + C.} \]
   Пример 4
Вычислить интеграл \(\int {\cot \left( {3x + 5} \right)dx}.\)

Решение.
Запишем интеграл как \[ {\int {\cot \left( {3x + 5} \right)dx} } = {\int {\frac{{\cos \left( {3x + 5} \right)}}{{\sin\left( {3x + 5} \right)}}dx} .} \] Используя замену \[ {u = \sin\left( {3x + 5} \right),}\;\; {du = 3\cos \left( {3x + 5} \right)dx,}\;\; {\Rightarrow \cos \left( {3x + 5} \right)dx = \frac{{du}}{3},} \] получаем ответ \[ {\int {\cot \left( {3x + 5} \right)dx} } = {\int {\frac{{\cos \left( {3x + 5} \right)}}{{\sin\left( {3x + 5} \right)}}dx} } = {\int {\frac{{\frac{{du}}{3}}}{u}} } = {\frac{1}{3}\int {\frac{{du}}{u}} } = {\frac{1}{3}\ln \left| u \right| + C } = {\frac{1}{3}\ln \left| {\sin\left( {3x + 5} \right)} \right| + C.} \]
   Пример 5
Вычислить интеграл \(\int {{\large\frac{{\sin 2x}}{{\sqrt {1 + {{\cos }^2}x} }}\normalsize} dx}.\)

Решение.
Сделаем следующую подстановку: \[ {u = 1 + {\cos ^2}x,}\;\; {\Rightarrow du = {\left( {1 + {{\cos }^2}x} \right)^\prime }dx } = {2\cos x \cdot \left( { - \sin x} \right)dx } = { - \sin 2xdx.} \] Следовательно, \[ {\int {\frac{{\sin 2x}}{{\sqrt {1 + {{\cos }^2}x} }}dx} } = {\int {\frac{{\left( { - du} \right)}}{{\sqrt u }}} } = { - 2\int {\frac{{du}}{{2\sqrt u }}} } = { - 2\sqrt u + C } = { - 2\sqrt {1 + {{\cos }^2}x} + C.} \]

Все права защищены © www.math24.ru, 2009-2016   info@math24.ru
Сайт оптимизирован для Chrome, Firefox, Safari и Internet Explorer.