Math24.ru
Формулы и Таблицы
Главная
Математический анализ
Пределы и непрерывность
Дифференцирование
Приложения производной
Интегрирование
Последовательности и ряды
Двойные интегралы
Тройные интегралы
Криволинейные интегралы
Поверхностные интегралы
Ряды Фурье
Дифференциальные уравнения
Уравнения 1-го порядка
Уравнения 2-го порядка
Уравнения N-го порядка
Системы уравнений
Формулы и таблицы
Powered by MathJax
   Координаты вектора
Векторы: \(\mathbf{r}\), \(\mathbf{r_1}\), \(\mathbf{AB}\)
Длины векторов: \(\left| {\mathbf{r}} \right| \), \(\left| {\mathbf{AB}} \right| \)
Единичные векторы: \(\mathbf{i}\), \(\mathbf{j}\), \(\mathbf{k}\)
Координаты векторов: \(X\), \(Y\), \(Z\), \({X_1}\), \({Y_1}\), \({Z_1}\)
Координаты точек: \({x_0}\), \({y_0}\), \({z_0}\), \({x_1}\), \({y_1}\), \({z_1}\)
Направляющие косинусы: \(\cos \alpha\), \(\cos \beta\), \(\cos \gamma\)
  1. Вектором называется направленный отрезок, один из концов которого является началом, а другой − концом вектора.

  2. Единичные векторы трехмерной декартовой системы координат обозначаются следующим образом:
    \(\mathbf{i} = \left( {1,0,0} \right)\),  \(\mathbf{j} = \left( {0,1,0} \right)\),  \(\mathbf{k} = \left( {0,0,1} \right)\),
    \(\left| \mathbf{i} \right| = \left| \mathbf{j} \right| = \left| \mathbf{k} \right| = 1\).
    Данная тройка единичных векторов образует базис координатной системы.

  3. Любой вектор можно разложить по базисным векторам. Формула разложения записывается в виде
    \(\mathbf{r} = \mathbf{AB} = \left( {{x_1} - {x_0}} \right)\mathbf{i} + \left( {{y_1} - {y_0}} \right)\mathbf{j} + \left( {{z_1} - {z_0}} \right)\mathbf{k}.\)

    вектор в трехмерной декартовой системе координат

  4. Длиной (или модулем) вектора называется расстояние между началом и концом вектора:
    \(\left| \mathbf{r} \right| = \left| \mathbf{AB} \right| = \sqrt {{{\left( {{x_1} - {x_0}} \right)}^2} + {{\left( {{y_1} - {y_0}} \right)}^2} + {{\left( {{z_1} - {z_0}} \right)}^2}}. \)

  5. Противоположные векторы имеют равные длины и направлены в противоположные стороны:
    Если \(\mathbf{AB} = \mathbf{r}\), то \(\mathbf{BA} = -\mathbf{r}\).

    противоположные векторы

  6. Координатами вектора называются проекции вектора на оси координат:
    \(X = \left| \mathbf{r} \right|\cos \alpha \),  \(Y = \left| \mathbf{r} \right|\cos \beta \),  \(Z = \left| \mathbf{r} \right|\cos \gamma.\)

    Величины \(\cos\alpha\), \(\cos\beta\), \(\cos\gamma\) являются направляющими косинусами вектора \(\mathbf{r}\).

    проекци вектора на оси координат

  7. Векторы называются коллинеарными, если они параллельны одной и той же прямой.

  8. Векторы являются равными, если они коллинеарны, одинаково направлены и имеют равные длины. У равных векторов соответствующие координаты также равны:
    Если \(\mathbf{r}\left( {X,Y,Z} \right) = \mathbf{r_1}\left( {{X_1},{Y_1},{Z_1}} \right)\), то
    \(X = {X_1}\),  \(Y = {Y_1}\),  \(Z = {Z_1}\).



Все права защищены © www.math24.ru, 2009-2016   info@math24.ru
Сайт оптимизирован для Chrome, Firefox, Safari и Internet Explorer.