Math24.ru
Формулы и Таблицы
Главная
Математический анализ
Пределы и непрерывность
Дифференцирование
Приложения производной
Интегрирование
Последовательности и ряды
Двойные интегралы
Тройные интегралы
Криволинейные интегралы
Поверхностные интегралы
Ряды Фурье
Дифференциальные уравнения
Уравнения 1-го порядка
Уравнения 2-го порядка
Уравнения N-го порядка
Системы уравнений
Формулы и таблицы
Powered by MathJax
   Комплексные числа
Множество комплексных чисел: \(\mathbb{C}\)
Мнимая единица: \(i\)
Комплексные числа: \(z\), \({z_1}\), \({z_2}\)
Действительные числа: \(a\), \(b\), \(c\), \(d\)
Модуль комплексного числа: \(r\), \({r_1}\), \({r_2}\)
Аргумент комплексного числа: \(\varphi\), \({\varphi_1}\), \({\varphi_2}\)
Целые числа: \(k\)
Натуральные числа: \(n\)
  1. Алгебраическая форма комплексного числа
    \(z = a + bi\)

  2. Степени мнимой единицы 

  3. \({i^1} = i\)\({i^5} = i\)\({i^{4n + 1}} = i\)
    \({i^2} = -1\)\({i^6} = -1\)\({i^{4n + 2}} = -1\)
    \({i^3} = -i\)\({i^7} = -i\)\({i^{4n + 3}} = -i\)
    \({i^4} = 1\)\({i^8} = 1\)\({i^{4n + 4}} = 1\)

  4. Комплексная плоскость 

  5. комплексная плоскость

  6. Равенство комплексных чисел
    \(a + bi = c + di\), если \(a = c\) и \(b = d\)

  7. Сложение комплексных чисел
    \(\left( {a + bi} \right) + \left( {c + di} \right) = \left( {a + c} \right) + \left( {b + d} \right)i\)

  8. Вычитание комплексных чисел
    \(\left( {a + bi} \right) - \left( {c + di} \right) = \left( {a - c} \right) + \left( {b - d} \right)i\)

  9. Умножение комплексных чисел
    \(\left( {a + bi} \right)\left( {c + di} \right) = \left( {ac - bd} \right) + \left( {ad + bc} \right)i\)

  10. Деление комплексных чисел
    \(\large\frac{{a + bi}}{{c + di}} = \frac{{ac + bd}}{{{c^2} + {d^2}}} + \frac{{bc - ad}}{{{c^2} + {d^2}}}\normalsize i\)

  11. Сопряженное комплексное число
    \(\overline {a + bi} = a - bi\)

  12. Модуль \(r\) и аргумент \(\varphi\) комплексного числа
    \(z = a + bi,\;\;r = \sqrt {{a^2} + {b^2}} ,\;\;\varphi = \arctan \large\frac{b}{a}\)

    тригонометрическая форма комплексного числа

  13. Тригонометрическая форма комплексного числа
    \(z = a + bi = \;r\left( {\cos \varphi + i\sin \varphi } \right)\)

  14. Умножение комплексных чисел в тригонометрической форме
    \({z_1} \cdot {z_2} = \;{r_1}\left( {\cos {\varphi _1} + i\sin {\varphi _1}} \right) \cdot {r_2}\left( {\cos {\varphi _2} + i\sin {\varphi _2}} \right) = {r_1}{r_2}\left[ {\cos \left( {{\varphi _1} + {\varphi _2}} \right) + i\sin \left( {{\varphi _1} + {\varphi _2}} \right)} \right]\)

  15. Сопряженное комплексное число в тригонометрической форме
    \(\overline {r\left( {\cos \varphi + i\sin \varphi } \right)} = \;r\left[ {\cos \left( { - \varphi } \right) + i\sin \left( { - \varphi } \right)} \right]\)

  16. Обратное комплексное число в тригонометрической форме
    \(\large\frac{1}{{r\left( {\cos \varphi + i\sin \varphi } \right)}} = \frac{1}{r}\normalsize\left[ {\cos \left( { - \varphi } \right) + i\sin \left( { - \varphi } \right)} \right]\)

  17. Деление комплексных чисел в тригонометрической форме
    \(\large\frac{{{z_1}}}{{{z_2}}} = \frac{{{r_1}\left( {\cos {\varphi _1} + i\sin {\varphi _1}} \right)}}{{{r_2}\left( {\cos {\varphi _2} + i\sin {\varphi _2}} \right)}} = \frac{{{r_1}}}{{{r_2}}}\normalsize\left[ {\cos \left( {{\varphi _1} - {\varphi _2}} \right) + i\sin \left( {{\varphi _1} - {\varphi _2}} \right)} \right]\)

  18. Возведение комплексного числа в степень
    \({z^n} = {\left[ {r\left( {\cos \varphi + i\sin \varphi } \right)} \right]^n} = {r^n}\left[ {\cos \left( {n\varphi } \right) + i\sin \left( {n\varphi } \right)} \right]\)

  19. Формула Муавра
    \({\left( {\cos \varphi + i\sin \varphi } \right)^n} = \cos \left( {n\varphi } \right) + i\sin \left( {n\varphi } \right)\)

  20. Извлечение корня из комплексного числа
    \(\sqrt[\large n\normalsize]{z} = \sqrt[\large n\normalsize]{{r\left( {\cos \varphi + i\sin \varphi } \right)}} = \sqrt[\large n\normalsize]{r}\left( {\cos \large\frac{{\varphi + 2\pi k}}{n} + \normalsize i\sin \large\frac{{\varphi + 2\pi k}}{n}} \right)\), \(\;\;k = 0,1,2, \ldots ,n - 1\)

  21. Формула Эйлера
    \(\exp \left( {ia} \right) = \cos a + i\sin a\)

  22. Показательная форма комплексного числа
    \(z = r\exp \left( {i\varphi } \right)\)

  23. \(\sin a = \large\frac{{\exp \left( {ai} \right) - \exp \left( { - ai} \right)}}{2}\) 

  24. \(\cos a = \large\frac{{\exp \left( {ai} \right) + \exp \left( { - ai} \right)}}{2}\) 

  25. \(\tan a = \large\frac{{\exp \left( {ai} \right) - \exp \left( { - ai} \right)}}{{\exp \left( {ai} \right) + \exp \left( { - ai} \right)}}\) 

  26. \(\cot a = \large\frac{{\exp \left( {ai} \right) + \exp \left( { - ai} \right)}}{{\exp \left( {ai} \right) - \exp \left( { - ai} \right)}}\) 



Все права защищены © www.math24.ru, 2009-2016   info@math24.ru
Сайт оптимизирован для Chrome, Firefox, Safari и Internet Explorer.