Math24.ru
Дифференциальные Уравнения
Главная
Математический анализ
Пределы и непрерывность
Дифференцирование
Приложения производной
Интегрирование
Последовательности и ряды
Двойные интегралы
Тройные интегралы
Криволинейные интегралы
Поверхностные интегралы
Ряды Фурье
Дифференциальные уравнения
Уравнения 1-го порядка
Уравнения 2-го порядка
Уравнения N-го порядка
Системы уравнений
Формулы и таблицы
Powered by MathJax
   Колебания в электрических цепях
Дифференциальные уравнения RLC-цепей
В электрической цепи, содержащей сопротивление \(R\), индуктивность \(L\) и емкость \(C\), могут возбуждаться электрические колебания. С точки зрения топологии чаще всего рассматриваются два вида электрических цепей: последовательная \(RLC\)-цепь (рисунок \(1\)) и параллельная \(RLC\)-цепь (рисунок \(2\)).
последовательная RLC-цепь
параллельная RLC-цепь
Рис.1
Рис.2
Выведем дифференциальное уравнение, описывающее закон изменения тока в последовательной \(RLC\)-цепи.

Напряжения \({V_R},{V_C},{V_L},\) соответственно, на резисторе \(R,\) конденсаторе \(C\) и катушке индуктивности \(L\) выражаются формулами \[ {{V_R}\left( t \right) = RI\left( t \right),}\;\; {{V_C}\left( t \right) = \frac{1}{C}\int\limits_0^t {I\left( \tau \right)d\tau } ,}\;\; {{V_L}\left( t \right) = L\frac{{dI}}{{dt}}.} \] Из второго закона Кирхгофа следует, что \[{V_R}\left( t \right) + {V_C}\left( t \right) + {V_L}\left( t \right) = E\left( t \right),\] где \(E\left( t \right)\) − электродвижущая сила (э.д.с.) источника питания.

В случае постоянной э.д.с. \(E\) после подстановки выражений для \({V_R},{V_C}\) и \({V_L},\) и последующего дифференцирования получаем следующее дифференциальное уравнение: \[\frac{{{d^2}I\left( t \right)}}{{d{t^2}}} + \frac{R}{L}\frac{{dI\left( t \right)}}{{dt}} + \frac{1}{{LC}}I\left( t \right) = 0.\] Если ввести обозначения \(2\beta = {\large\frac{R}{L}\normalsize},\;\omega _0^2 = {\large\frac{1}{{LC}}\normalsize},\) то уравнение записывается в виде \[\frac{{{d^2}I}}{{d{t^2}}} + 2\beta \frac{{dI}}{{dt}} + \omega _0^2I = 0.\] Данное дифференциальное уравнение совпадает с уравнением, описывающим затухающие колебания грузика на пружинке. Следовательно, в последовательной \(RLC\)-цепи при определенных значениях параметров также могут возникать затухающие колебания.

Теперь рассмотрим параллельную \(RLC\)-цепь и выведем для нее аналогичное дифференциальное уравнение.

По первому закону Кирхгофа полный ток будет равен сумме токов через сопротивление \(R,\) катушку индуктивности \(L\) и конденсатор \(C\) (рисунок \(2\)): \[{I_R}\left( t \right) + {I_L}\left( t \right) + {I_C}\left( t \right) = I\left( t \right).\] Учитывая, что \[ {{I_R} = \frac{V}{R},}\;\;\; {{I_L} = \frac{1}{L}\int\limits_0^t {Vd\tau } ,}\;\;\; {{I_C} = C\frac{{dV}}{{dt}},} \] для случая постоянного полного тока \(I\left( t \right) = {I_0}\) получаем следующее дифференциальное уравнение \(2\)-го порядка относительно переменной \(V:\) \[ {\frac{V}{R} + \frac{1}{L}\int\limits_0^t {Vd\tau } + C\frac{{dV}}{{dt}} = {I_0},}\;\; {\Rightarrow C\frac{{{d^2}V}}{{d{t^2}}} + \frac{1}{R}\frac{{dV}}{{dt}} + \frac{1}{L}V = 0.} \] Как видно, мы снова приходим к уравнению, описывающему затухающие колебания. Таким образом, колебательный режим может возникать и в параллельных \(RLC\)-цепях.
Простейший колебательный контур. Формула Томсона
В простейшем случае, когда омическое сопротивление равно нулю (\(R = 0\)) и источник э.д.с. отсутствует (\(E = 0\)), колебательный контур состоит лишь из конденсатора \(C\) и катушки индуктивности \(L\) и описывается дифференциальным уравнением \[\frac{{{d^2}I}}{{d{t^2}}} + \omega _0^2I = 0,\;\; \text{где}\;\;\omega _0^2 = \frac{1}{{LC}}.\] В таком контуре будут происходить незатухающие электрические колебания с периодом \[{T_0} = \frac{{2\pi }}{{{\omega _0}}} = 2\pi \sqrt {LC} .\] Данная формула называется формулой Томсона в честь английского физика Уильяма Томсона (\(1824-1907\)), который теоретически вывел ее в \(1853\) году.
Затухающие колебания в последовательной \(RLC\)-цепи
Выше мы получили дифференциальное уравнение второго порядка, описывающее затухающие колебания в последовательном \(RLC\)-контуре, которое записывается как \[\frac{{{d^2}I}}{{d{t^2}}} + \frac{R}{L}\frac{{dI}}{{dt}} + \frac{1}{{LC}}I = 0.\] Соответствующее характеристическое уравнение имеет вид \[{\lambda ^2} + \frac{R}{L}\lambda + \frac{1}{{LC}} = 0.\] Его корни вычисляются по формулам: \[ {{\lambda _{1,2}} = \frac{{ - \frac{R}{L} \pm \sqrt {\frac{{{R^2}}}{{{L^2}}} - \frac{4}{{LC}}} }}{2} } = { - \frac{R}{{2L}} \pm \sqrt {{{\left( {\frac{R}{{2L}}} \right)}^2} - \frac{1}{{LC}}} } = { - \beta \pm \sqrt {{\beta ^2} - \omega _0^2} ,} \] где величина \(\beta = \large\frac{R}{{2L}}\normalsize\) называется коэффициентом затухания, а \({\omega_0}\) − резонансной частотой колебательного контура.

В зависимости от значений параметров \(R, L, C\) могут возникнуть три режима.
      Случай 1.  \({R^2} > \large\frac{{4L}}{C}\normalsize\)
В этом случае оба корня характеристического уравнения \({\lambda_1}\) и \({\lambda_2}\) действительны, различны и отрицательны. Общее решение дифференциального уравнения определяется формулой \[I\left( t \right) = {C_1}{e^{{\lambda _1}t}} + {C_2}{e^{{\lambda _2}t}}.\] В этом режиме ток монотонно уменьшается, приближаясь к нулю (рисунок \(3\)).
      Случай 2.  \({R^2} = \large\frac{{4L}}{C}\normalsize\)
Данный режим можно назвать граничным или критическим. Здесь оба корня характеристического уравнения совпадают, но при этом являются действительными и отрицательными. Общее решение уравнения выражается функцией \[ {I\left( t \right) = \left( {{C_1}t + {C_2}} \right){e^{ - \beta t}} } = {\left( {{C_1}t + {C_2}} \right){e^{ - {\large\frac{R}{{2L}}\normalsize} t}}.} \] В начале процесса ток может даже возрастать, но в дальнейшем он быстро уменьшается по экспоненциальному закону.
      Случай 3.  \({R^2} < \large\frac{{4L}}{C}\normalsize\)
В этом случае корни характеристического уравнения являются комплексно-сопряженными. В электрической цепи возникают затухающие колебания. Закон изменения тока имеет вид \[I\left( t \right) = {e^{ - \beta t}}\left( {A\cos \omega t + B\sin \omega t} \right),\] где величина \(\beta = \large\frac{R}{{2L}}\normalsize\) − как и выше, коэффициент затухания, \(\omega = \sqrt {{\large\frac{1}{{LC}}\normalsize} - {{\left( {\large\frac{R}{{2L}}\normalsize} \right)}^2}} \) − частота колебаний, \(A, B\) − постоянные интегрирования, зависящие от начальных условий. Заметим, что частота затухающих колебаний \(\omega\) меньше резонансной частоты \({\omega_0}\) колебательного контура. Типичный вид кривой \(I\left( t \right)\) в этом режиме также представлен на рисунке \(3.\)
три режима затухания электрических колебаний
определение ширины резонансной кривой
Рис.3
Рис.4
Вынужденные колебания и резонанс
Если колебательный контур содержит генератор с периодически изменяющейся э.д.с., то в нем устанавливаются вынужденные колебания. Если э.д.с. \(E\) источника тока изменяется по закону \[E\left( t \right) = {E_0}\cos \omega t,\] то дифференциальное уравнение вынужденных колебаний в последовательной \(RLC\)-цепи записывается в виде \[ {\frac{{{d^2}q\left( t \right)}}{{d{t^2}}} + \frac{R}{L}\frac{{dq\left( t \right)}}{{dt}} + \frac{1}{{LC}}q\left( t \right) = \frac{1}{L}{E_0}\cos \omega t}\;\; {\text{или}\;\;\frac{{{d^2}q}}{{d{t^2}}} + 2\beta \frac{{dq}}{{dt}} + \omega _0^2q = \frac{{{E_0}}}{L}\cos \omega t,} \] где \(q\) − заряд конденсатора, \(2\beta = \frac{R}{L},\;\omega _0^2 = \frac{1}{{LC}}.\)

Данное уравнение аналогично уравнению вынужденных колебаний пружинного маятника, рассмотренного на странице Механические колебания. Его общее решение представляет собой сумму двух слагаемых − общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения. При этом общее решение однородного уравнения описывает затухающий переходный процесс, по истечении которого в системе устанавливаются вынужденные колебания. Эти вынужденные колебания будут происходить по закону \[ {q\left( t \right) } = {\frac{{{E_0}}}{{L\sqrt {{{\left( {\omega _0^2 - {\omega ^2}} \right)}^2} + 4{\beta ^2}{\omega ^2}} }}\cos \left( {\omega t + \varphi } \right) } = {\frac{{{E_0}}}{{\omega \sqrt {{R^2} + {{\left( {\omega L - \frac{1}{{\omega C}}} \right)}^2}} }}\cos \left( {\omega t + \varphi } \right),} \] где фаза \(\varphi\) определяется формулой \[ {\varphi = \arctan \left( { - \frac{{2\beta \omega }}{{\omega _0^2 - {\omega ^2}}}} \right) } = {\arctan \frac{R}{{\omega L - \frac{1}{{\omega C}}}}.} \] Зная закон изменения заряда \(q\left( t \right),\) легко найти закон изменения тока \(I\left( t \right):\) \[ {I\left( t \right) = \frac{{dq\left( t \right)}}{{dt}} } = { - \frac{{{E_0}}}{{\sqrt {{R^2} + {{\left( {\omega L - \frac{1}{{\omega C}}} \right)}^2}} }}\sin\left( {\omega t + \varphi } \right) } = {\frac{{{E_0}}}{{\sqrt {{R^2} + {{\left( {\omega L - \frac{1}{{\omega C}}} \right)}^2}} }}\cos\left( {\omega t - \theta } \right),} \] где введен угол \(\theta,\) равный \(\theta = - \left( {\varphi + \frac{\pi }{2}} \right).\) Угол \(\theta\) показывает отставание колебаний тока \(I\left( t \right)\) по отношению к колебаниям напряжения источника питания \(E\left( t \right) = {E_0}\cos \omega t.\)

Амплитуда тока \({I_0}\) и сдвиг фаз \(\theta\) определяются формулами \[ {{I_0} = \frac{{{E_0}}}{{\sqrt {{R^2} + {{\left( {\omega L - \frac{1}{{\omega C}}} \right)}^2}} }} = \frac{{{E_0}}}{Z},}\;\;\; {\theta = \arctan \frac{{\omega L - \frac{1}{{\omega C}}}}{R}.} \] Величина \(Z = \sqrt {{R^2} + {{\left( {\omega L - \large\frac{1}{{\omega C}}\normalsize} \right)}^2}} \) называется полным сопротивлением или импедансом контура. Она состоит из омического сопротивления \(R\) и реактивного сопротивления \({\omega L - \large\frac{1}{{\omega C}}}\normalsize\) Импеданс колебательного контура в комплексной форме записывается как \[Z = R + i\left( {\omega L - \frac{1}{{\omega C}}} \right).\] Из полученных формул видно, что амплитуда установившихся колебаний тока будет максимальной когда \[\omega L = \frac{1}{{\omega C}}\;\;\text{или}\;\;\omega = {\omega _0} = \frac{1}{{\sqrt {LC} }}.\] При этом условии в колебательном контуре наступает резонанс. Резонансная частота \({\omega_0}\) равна частоте свободных колебаний в контуре и не зависит от сопротивления \(R.\)

Формулу для амплитуды тока вынужденных колебаний можно преобразовать, выделив в явном виде зависимость от отношения частот \(\large\frac{\omega }{{{\omega _0}}}\normalsize,\) где \({\omega_0}\) − резонансная частота. В результате получаем \[\require{cancel} {{I_0} = \frac{{{E_0}}}{{\sqrt {{R^2} + {{\left( {\omega L - \frac{1}{{\omega C}}} \right)}^2}} }} } = {\frac{{\frac{{{E_0}}}{{{\omega _0}}}}}{{\frac{{\sqrt {{R^2} + {{\left( {\omega L - \frac{1}{{\omega C}}} \right)}^2}} }}{{{\omega _0}}}}} } = {\frac{{\frac{{{E_0}}}{{{\omega _0}}}}}{{\sqrt {\frac{{{R^2}}}{{\omega _0^2}} + {{\left( {\frac{\omega }{{{\omega _0}}}L - \frac{1}{{\omega {\omega _0}C}}} \right)}^2}} }} } = {\frac{{{E_0}\sqrt {LC} }}{{\sqrt {{R^2}LC + {{\left( {\frac{\omega }{{{\omega _0}}}L - \frac{1}{{\frac{\omega }{{{\omega _0}}}\frac{\cancel{C}}{{L\cancel{C}}}}}} \right)}^2}} }} } = {\frac{{{E_0}\sqrt {LC} }}{{\sqrt {{R^2}LC + {{\left( {\frac{\omega }{{{\omega _0}}}L - \frac{L}{{\frac{\omega }{{{\omega _0}}}}}} \right)}^2}} }} } = {\frac{{{E_0}\sqrt C }}{{\sqrt {{R^2}C + {{\left( {\frac{\omega }{{{\omega _0}}} - \frac{1}{{\frac{\omega }{{{\omega _0}}}}}} \right)}^2}} }}.} \] Типичные зависимости амплитуды тока от отношения частот \(\large\frac{\omega }{{{\omega _0}}}\normalsize\) при различных значениях \(R\) и \(C\) показаны на рисунках \(5\) и \(6.\) Данные графики построены при \(E = 100\;\text{В},\) \(L = 1\;\text{мГн},\) \(C = 10\;\text{мкФ}\) (на рисунке \(5\)), \(R = 10\;\text{Ом}\) (на рисунке \(6\)).
зависимость амплитуды тока установившихся колебаний от отношения частот при разных значениях сопротивления
зависимость амплитуды тока установившихся колебаний от отношения частот при разных значениях емкости
Рис.5
Рис.6
Резонансные свойства колебательного контура характеризуются добротностью \(Q,\) которая численно равна отношению резонансной частоты \({\omega_0}\) к ширине резонансной кривой \(\Delta\omega\) на уровне убывания амплитуды в \(\sqrt 2\) раз (см. выше рисунок \(4\)).

В последовательном колебательном контуре добротность вычисляется по формуле \[Q = \frac{1}{R}\sqrt {\frac{L}{C}} .\] Для параллельной \(RLC\)-цепи добротность определяется обратным выражением: \[Q = R\sqrt {\frac{C}{L}} .\]
   Пример 1
Электрическая цепь состоит из последовательно соединенных резистора сопротивлением \(R = 100\;\text{Ом}\) и катушки с индуктивностью \(L = 50\;\text{Гн}.\) В момент \(t = 0\) подключается источник постоянного напряжения \({V_0} = 200\;\text{В}.\) Найти:
  • Закон изменения тока в цепи \(I\left( t \right)\);

  • Закон изменения напряжения на резисторе \({V_R}\left( t \right)\) и на катушке индуктивности \({V_L}\left( t \right)\).

Решение.
Последовательная \(RL\)-цепь описывается дифференциальным уравнением \[L\frac{{dI}}{{dt}} + RI = {V_0}.\] В соответствии с общей теорией, решением данного уравнения является сумма общего решения однородного уравнения \({I_0}\) и частного решения неоднородного уравнения \({I_1}:\) \(I = {I_0} + {I_1}.\) Общее решение однородного уравнения \[L\frac{{dI}}{{dt}} + RI = 0\] выражается функцией \[{I_0}\left( t \right) = A{e^{ - \frac{R}{L}t}},\] где \(A\) − постоянная интегрирования.

Решение неоднородного уравнения \({I_1}\) соответствует установившемуся режиму, при котором ток в цепи определяется лишь омическим сопротивлением \(R:\) \({I_1} = \frac{{{V_0}}}{R}.\) Тогда полный ток будет изменяться по закону \[I\left( t \right) = {I_0} + {I_1} = A{e^{ - \frac{R}{L}t}} + \frac{{{V_0}}}{R}.\] Постоянная \(A\) определяется из начального условия \(I\left( {t = 0} \right) = 0.\) Следовательно, \[ {0 = A{e^{ - \frac{R}{L} \cdot 0}} + \frac{{{V_0}}}{R},}\;\; {\Rightarrow A = - \frac{{{V_0}}}{R}.} \] Итак, после замыкания цепи ток будет изменяться по закону \[ {I\left( t \right) = - \frac{{{V_0}}}{R}{e^{ - \frac{R}{L}t}} + \frac{{{V_0}}}{R} } = {\frac{{{V_0}}}{R}\left( {1 - {e^{ - \frac{R}{L}t}}} \right) } = {\frac{{200}}{{100}}\left( {1 - {e^{ - \frac{{100}}{{50}}t}}} \right) } = {2\left( {1 - {e^{ - 2t}}} \right)\;\left[ \text{A} \right].} \] График \(I\left( t \right)\) показан на рисунке \(7.\)

Напряжения на резисторе \({V_R}\) и на катушке индуктивности \({V_L}\) определяются следующими формулами: \[ {{V_R}\left( t \right) = I\left( t \right)R = {V_0}\left( {1 - {e^{ - \frac{R}{L}t}}} \right) } = {200\left( {1 - {e^{ - 2t}}} \right)\;\left[ \text{В} \right],} \] \[ {{V_L}\left( t \right) = L\frac{{dI\left( t \right)}}{{dt}} } = {\frac{{L{V_0}}}{R}\frac{d}{{dt}}\left( {1 - {e^{ - \frac{R}{L}t}}} \right) } = {\frac{{\cancel{L}{V_0}}}{\cancel{R}} \cdot \frac{\cancel{R}}{\cancel{L}}{e^{ - \frac{R}{L}t}} } = {{V_0}{e^{ - \frac{R}{L}t}} } = {200{e^{ - 2t}}\;\left[ \text{В} \right].} \] Графики функций \({V_R}\left( t \right)\) и \({V_L}\left( t \right)\) приведены на рисунке \(8.\)
изменение тока в RL-цепи
изменение напряжения на резисторе и катушке индуктивности RL-цепи
Рис.7
Рис.8
   Пример 2
Электрическая цепь состоит из последовательно соединенных резистора сопротивлением \(R = 100\;\text{Ом}\) и конденсатора \(C = 0.01\;\text{мкФ}.\) В начальный момент подключается источник постоянного напряжения \({V_0} = 200\;\text{В}.\) Найти:
  • Закон изменения тока в цепи \(I\left( t \right)\);

  • Закон изменения напряжения на резисторе \({V_R}\left( t \right)\) и конденсаторе \({V_C}\left( t \right)\).

Решение.
Эта задача похожа на предыдущую и отличается от нее лишь типом электрической цепи. В данной задаче рассматривается \(RC\)-цепь.

Согласно \(2\)-му закону Кирхгофа \[{V_R}\left( t \right) + {V_C}\left( t \right) = {V_0},\] где напряжение на резисторе равно \[{V_R}\left( t \right) = I\left( t \right)R = RC\frac{{d{V_C}}}{{dt}}.\] В результате получаем следующее дифференциальное уравнение для описания переходного процесса в \(RC\)-цепи: \[RC\frac{{d{V_C}}}{{dt}} + {V_C} = {V_0}.\] Решение этого уравнения представляется в виде суммы общего решения однородного уравнения \(V_\text{одн}\) и частного решения неоднородного уравнения \({V_1}.\) Однородное уравнение имеет общее решение в виде \[ {RC\frac{{d{V_C}}}{{dt}} + {V_C} = 0,}\;\; {\Rightarrow \frac{{d{V_C}}}{{dt}} = - \frac{1}{{RC}}{V_C},}\;\; {\Rightarrow \int {\frac{{d{V_C}}}{{{V_C}}}} = - \frac{1}{{RC}}\int {dt} ,}\;\; {\Rightarrow \ln {V_C} = - \frac{t}{{RC}},}\;\; {\Rightarrow {V_\text{одн}} = A{e^{ - \large\frac{t}{{RC}}\normalsize}},} \] где \(A\) − постоянная интегрирования, зависящая от начального условия.

Частное решение неоднородного уравнения соответствует установившемуся режиму, при котором \({\large\frac{{d{V_C}}}{{dt}}\normalsize} = 0.\) Тогда напряжение на резисторе будет равно нулю и все напряжение будет приложено к конденсатору, то есть \({V_C} = {V_0}.\) Таким образом, изменение напряжения на конденсаторе описывается выражением \[{V_C}\left( t \right) = A{e^{ - \large\frac{t}{{RC}}\normalsize}} + {V_0}.\] С учетом начального условия \({V_C}\left( {t = 0} \right) = 0\) находим постоянную \(A:\) \[0 = A \cdot 1 + {V_0},\;\; \Rightarrow A = - {V_0}.\] Следовательно, закон изменения напряжения на конденсаторе будет выглядеть так: \[ {{V_C}\left( t \right) = - {V_0}{e^{ - \large\frac{t}{{RC}}\normalsize}} + {V_0} } = {{V_0}\left( {1 - {e^{ - \large\frac{t}{{RC}}\normalsize}}} \right) } = {200\left( {1 - {e^{ - t}}} \right)\;\left[ \text{В} \right].} \] Напряжение на резисторе определяется формулой \[ {{V_R}\left( t \right) = RC\frac{{d{V_C}}}{{dt}} } = {RC{V_0}\frac{d}{{dt}}\left( {1 - {e^{ - \large\frac{t}{{RC}}\normalsize}}} \right) } = {\cancel{RC}{V_0} \cdot \frac{1}{\cancel{RC}}{e^{ - \large\frac{t}{{RC}}\normalsize}} } = {{V_0}{e^{ - \large\frac{t}{{RC}}\normalsize}} = 200{e^{ - t}}\;\left[ \text{В} \right].} \] Ток в \(RC\)-цепи будет изменяться по закону \[ I\left( t \right) = \frac{{{V_R}\left( t \right)}}{R} = \frac{{{V_0}}}{R}{e^{ - \large\frac{t}{{RC}}\normalsize}} = \frac{{200}}{{100}}{e^{ - t}} = 2{e^{ - t}}\;\left[ \text{A} \right]. \] Графики изменения напряжений \({V_C}\left( t \right),\) \({V_R}\left( t \right)\) и тока \(I\left( t \right)\) показаны на рисунках \(9\) и \(10.\)
изменение напряжения на резисторе и конденсаторе в RC-цепи
изменение тока в RC-цепи
Рис.9
Рис.10
   Пример 3
Электрическая цепь состоит из последовательно соединенных резистора сопротивлением \(R = 1\;\text{Ом},\) катушки с индуктивностью \(L = 0.25\;\text{Гн}\) и конденсатора емкостью \(C = 1\;\text{мкФ}.\) Через сколько колебаний амплитуда тока в этом контуре уменьшится в \(e\) раз?

Решение.
В контуре будут происходить затухающие колебания с частотой \[\omega = \sqrt {\frac{1}{{LC}} - \frac{{{R^2}}}{{4{L^2}}}} .\] Амплитуда колебаний будет при этом уменьшаться по закону \[A\left( t \right) = {A_0}{e^{ - {\large\frac{R}{{2L}}\normalsize} t}}.\] Пусть за время \(t\) произошло \(N\) полных колебаний: \[ {t = NT = \frac{{2\pi N}}{\omega } } = {\frac{{2\pi N}}{{\sqrt {\frac{1}{{LC}} - \frac{{{R^2}}}{{4{L^2}}}} }}.} \] Если за это время амплитуда колебаний уменьшилась в \(e\) раз, то справедливо соотношение \[ - \frac{R}{{2L}}t = \frac{R}{{2L}} \cdot \frac{{2\pi N}}{{\sqrt {\frac{1}{{LC}} - \frac{{{R^2}}}{{4{L^2}}}} }} = - 1.\] Отсюда находим число колебаний \(N:\) \[ {N = \frac{L}{{\pi R}}\sqrt {\frac{1}{{LC}} - \frac{{{R^2}}}{{4{L^2}}}} } = {\frac{1}{\pi }\sqrt {\frac{{{L^\cancel{2}}}}{{{R^2}\cancel{L}C}} - \frac{{\cancel{L^2}\cancel{R^2}}}{{4\cancel{R^2}\cancel{L^2}}}} } = {\frac{1}{\pi }\sqrt {\frac{L}{{{R^2}C}} - \frac{1}{4}} } = {\frac{1}{{2\pi }}\sqrt {\frac{{4L}}{{{R^2}C}} - 1} } = {\frac{1}{{2\pi }}\sqrt {\frac{{4 \cdot 0.25}}{{{1^2} \cdot {{10}^{ - 6}}}} - 1} } \approx {\frac{{1000}}{{2\pi }} \approx 159.} \]
   Пример 4
К последовательной цепи, состоящей из сопротивления \(R = 100\;\text{Ом},\) катушки с индуктивностью \(L = 0.4\;\text{Гн}\) и конденсатора емкостью \(C = 200\;\text{мкФ},\) подключен переменный источник напряжения с амплитудой \({E_0} = 128\;\text{В}\) и круговой частотой \(\omega = 250\;\text{Гц}.\) Найти:
  • Амплитуду тока в цепи;

  • Амплитуду напряжения на конденсаторе.

Решение.
Вынужденные колебания тока в установившемся режиме происходят с амплитудой \[ {I_0} = \frac{{{E_0}}}{{\sqrt {{R^2} + {{\left( {\omega L - \frac{1}{{\omega C}}} \right)}^2}} }} = \frac{{128}}{{\sqrt {{{10}^4} + {{\left( {250 \cdot 0.4 - \frac{1}{{250 \cdot 0.2 \cdot {{10}^{ - 3}}}}} \right)}^2}} }} = \frac{{128}}{{\sqrt {{{10}^4} + {{\left( {100 - 20} \right)}^2}} }} = \frac{{128}}{{\sqrt {16400} }} \approx 1\;\left[ \text{A} \right]. \] Амплитуда колебаний напряжения на конденсаторе будет составлять \[{V_C} = \frac{{{q_0}}}{C} = \frac{{{I_0}}}{{\omega C}} = \frac{1}{{250 \cdot 0,2 \cdot {{10}^{ - 3}}}} = 20\;\left[ \text{В} \right].\]

Все права защищены © www.math24.ru, 2009-2016   info@math24.ru
Сайт оптимизирован для Chrome, Firefox, Safari и Internet Explorer.