Math24.ru
Формулы и Таблицы
Главная
Математический анализ
Пределы и непрерывность
Дифференцирование
Приложения производной
Интегрирование
Последовательности и ряды
Двойные интегралы
Тройные интегралы
Криволинейные интегралы
Поверхностные интегралы
Ряды Фурье
Дифференциальные уравнения
Уравнения 1-го порядка
Уравнения 2-го порядка
Уравнения N-го порядка
Системы уравнений
Формулы и таблицы
Powered by MathJax
   Интегралы от тригонометрических функций
Тригонометрические функции: \(\sin x\), \(\cos x\), \(\tan x\), \(\cot x\), \(\arcsin x\), \(\arccos x\), \(\arctan x\), \(\text {arccot }x\)
Аргумент (независимая переменная): \(x\)
Натуральные числа: \(m\), \(n\)
Действительные числа: \(C\)
  1. Интеграл от синуса  
    \(\large\int\normalsize {\sin x\,dx} = - \cos x + C\)

  2. Интеграл от косинуса  
    \(\large\int\normalsize {\cos x\,dx} = \sin x + C\)

  3. Интеграл от синуса в квадрате  
    \(\large\int\normalsize {{{\sin }^2}x\,dx} = \large\frac{x}{2}\normalsize - \large\frac{1}{4}\normalsize \sin{2x} + C\)

  4. Интеграл от косинуса в квадрате  
    \(\large\int\normalsize {{{\cos }^2}x\,dx} = \large\frac{x}{2}\normalsize + \large\frac{1}{4}\normalsize \sin{2x} + C\)

  5. Интеграл от синуса в кубе  
    \(\large\int\normalsize {{{\sin }^3}x\,dx} = \large\frac{1}{3}\normalsize{\cos ^3}x - \cos x + C = \large\frac{1}{{12}}\normalsize\cos {3x} - \large\frac{3}{4}\normalsize \cos x + C\)

  6. Интеграл от косинуса в кубе  
    \(\large\int\normalsize {{{\cos }^3}x\,dx} = \sin x - \large\frac{1}{3}\normalsize{\sin ^3}x + C = \large\frac{1}{{12}}\normalsize\sin {3x} + \large\frac{3}{4}\normalsize \sin x + C\)

  7. Интеграл от секанса  
    \(\large\int {\frac{{dx}}{{\cos x}}}\normalsize = \large\int\normalsize {\sec x\,dx} = \ln \left| {\tan \left( {\large\frac{x}{2}\normalsize + \large\frac{\pi }{4}\normalsize} \right)} \right| + C\)

  8. Интеграл от косеканса  
    \(\large\int {\frac{{dx}}{{\sin x}}}\normalsize = \large\int\normalsize {\csc x\,dx} = \ln \left| {\tan {\large\frac{x}{2}\normalsize}} \right| + C\)

  9. Интеграл от секанса в квадрате  
    \(\large\int {\frac{{dx}}{{{{\cos }^2}x}}}\normalsize = \large\int\normalsize {{{\sec }^2}x\,dx} = \tan x + C\)

  10. Интеграл от косеканса в квадрате  
    \(\large\int {\frac{{dx}}{{{{\sin }^2}x}}}\normalsize = \large\int\normalsize {{{\csc }^2}x\,dx} = -\cot x + C\)

  11. Интеграл от секанса в кубе  
    \(\large\int {\frac{{dx}}{{{{\cos }^3}x}}}\normalsize = \large\int\normalsize {{{\sec }^3}xdx} = \large\frac{{\sin x}}{{2{{\cos }^2}x}}\normalsize + \large\frac{1}{2}\normalsize\ln \left| {\tan \left( {\large\frac{x}{2}\normalsize + \large\frac{\pi }{4}}\normalsize \right)} \right| + C\)

  12. Интеграл от косеканса в кубе  
    \(\large\int {\frac{{dx}}{{{{\sin }^3}x}}}\normalsize = \large\int\normalsize {{{\csc }^3}xdx} = -\large\frac{{\cos x}}{{2{{\sin }^2}x}}\normalsize + \large\frac{1}{2}\normalsize\ln \left| {\tan \large\frac{x}{2}\normalsize} \right| + C\)

  13. Интеграл от произведения синуса и косинуса  
    \(\large\int\normalsize {\sin x\cos x\,dx} = - \large\frac{1}{4}\normalsize\cos{2x} + C\)

  14. Интеграл от произведения синуса в квадрате и косинуса  
    \(\large\int\normalsize {{{\sin }^2}x\cos x \,dx} = \large\frac{1}{3}\normalsize {\sin^3}x + C\)

  15. Интеграл от произведения косинуса в квадрате и синуса  
    \(\large\int\normalsize {{{\cos }^2}x\sin x \,dx} = -\large\frac{1}{3}\normalsize {\cos^3}x + C\)

  16. Интеграл от произведения квадратов синуса и косинуса  
    \(\large\int\normalsize {{{\sin }^2}x\,{{\cos }^2}x\,dx} = \large\frac{x}{8}\normalsize - \large\frac{1}{{32}}\normalsize \sin{4x} + C\)

  17. Интеграл от тангенса  
    \(\large\int\normalsize {\tan x\,dx} = - \ln \left| {\cos x} \right| + C\)

  18. \(\large\int\normalsize {\large\frac{{\sin x}}{{{{\cos }^2}x}}\normalsize dx} = \large\frac{1}{{\cos x}}\normalsize + C = \sec x + C\) 

  19. \(\large\int\normalsize {\large\frac{{{{\sin }^2}x}}{{\cos x}}\normalsize dx} = \ln \left| {\tan \left( {\large\frac{x}{2}\normalsize + \large\frac{\pi }{4}\normalsize} \right)} \right| - \sin x + C\) 

  20. Интеграл от тангенса в квадрате  
    \(\large\int\normalsize {{{\tan }^2}x\,dx} = \tan x - x + C\)

  21. Интеграл от котангенса  
    \(\large\int\normalsize {\cot x\,dx} = \ln \left| {\sin x} \right| + C\)

  22. \(\large\int\normalsize {\large\frac{{\cos x}}{{{{\sin }^2}x}}\normalsize dx} = - \large\frac{1}{{\sin x}}\normalsize + C = - \csc x + C\) 

  23. \(\large\int\normalsize {\large\frac{{{\cos^2}x}}{{\sin x}}\normalsize dx} = \ln \left| {\tan \large\frac{x}{2}}\normalsize \right| + \cos x + C\) 

  24. Интеграл от котангенса в квадрате  
    \(\large\int\normalsize {{{\cot }^2}x\,dx} = - \cot x - x + C\)

  25. \(\large\int\normalsize {\large\frac{{dx}}{{\cos x\sin x}}\normalsize} = \ln \left| {\tan x} \right| + C\) 

  26. \(\large\int\normalsize {\large\frac{{dx}}{{{\sin^2}x\cos x}}\normalsize} = - \large\frac{1}{{\sin x}}\normalsize + \ln \left| {\tan \left( {\large\frac{x}{2}\normalsize + \large\frac{\pi }{4}}\normalsize \right)} \right| + C\) 

  27. \(\large\int\normalsize {\large\frac{{dx}}{{\sin x\,{{\cos }^2}x}}\normalsize} = \large\frac{1}{{\cos x}}\normalsize + \ln \left| {\tan \large\frac{x}{2}}\normalsize \right| + C\) 

  28. \(\large\int {\frac{{dx}}{{{\sin^2}x\,{{\cos }^2}x}}}\normalsize = \tan x - \cot x + C\) 

  29. \(\large\int\normalsize {\sin {mx}\sin {nx}\,dx} = - \large\frac{{\sin \left( {m + n} \right)x}}{{2\left( {m + n} \right)}}\normalsize + \large\frac{{\sin \left( {m - n} \right)x}}{{2\left( {m - n} \right)}}\normalsize + C,\;\;{m^2} \ne {n^2}.\) 

  30. \(\large\int\normalsize {\sin {mx}\cos {nx}\,dx} = - \large\frac{{\cos \left( {m + n} \right)x}}{{2\left( {m + n} \right)}}\normalsize - \large\frac{{\cos \left( {m - n} \right)x}}{{2\left( {m - n} \right)}}\normalsize + C,\;\;{m^2} \ne {n^2}.\) 

  31. \(\large\int\normalsize {\cos {mx}\cos {nx}\,dx} = \large\frac{{\sin \left( {m + n} \right)x}}{{2\left( {m + n} \right)}}\normalsize + \large\frac{{\sin \left( {m - n} \right)x}}{{2\left( {m - n} \right)}}\normalsize + C,\;\;{m^2} \ne {n^2}.\) 

  32. \(\large\int\normalsize {\sec x\tan x\,dx} = \sec x + C\) 

  33. \(\large\int\normalsize {\csc x\cot x\,dx} = -\csc x + C\) 

  34. \(\large\int\normalsize {\sin x\,{{\cos }^n}x\,dx} = - \large\frac{{{{\cos }^{n + 1}}x}}{{n + 1}}\normalsize + C\) 

  35. \(\large\int\normalsize {{{\sin }^n}x\cos x\,dx} = \large\frac{{{\sin^{n + 1}}x}}{{n + 1}}\normalsize + C\) 

  36. Интеграл от арксинуса  
    \(\large\int\normalsize {\arcsin x\,dx} = x\arcsin x + \sqrt {1 - {x^2}} + C\)

  37. Интеграл от арккосинуса  
    \(\large\int\normalsize {\arccos x\,dx} = x\arccos x - \sqrt {1 - {x^2}} + C\)

  38. Интеграл от арктангенса  
    \(\large\int\normalsize {\arctan x\,dx} = x\arctan x - \large\frac{1}{2}\normalsize\ln \left( {{x^2} + 1} \right) + C\)

  39. Интеграл от арккотангенса  
    \(\large\int\normalsize {\text {arccot }x\,dx} = x\,\text{arccot }x + \large\frac{1}{2}\normalsize\ln \left( {{x^2} + 1} \right) + C\)



Все права защищены © www.math24.ru, 2009-2016   info@math24.ru
Сайт оптимизирован для Chrome, Firefox, Safari и Internet Explorer.