Math24.ru
Формулы и Таблицы
Главная
Математический анализ
Пределы и непрерывность
Дифференцирование
Приложения производной
Интегрирование
Последовательности и ряды
Двойные интегралы
Тройные интегралы
Криволинейные интегралы
Поверхностные интегралы
Ряды Фурье
Дифференциальные уравнения
Уравнения 1-го порядка
Уравнения 2-го порядка
Уравнения N-го порядка
Системы уравнений
Формулы и таблицы
Powered by MathJax
   Интегралы от рациональных функций
Аргумент (независимая переменная): \(x\)
Действительные числа: \(C\), \(a\), \(b\), \(c\), \(p\), \(n\)
Дискриминант квадратного уравнения: \(D\)
  1. Функция или дробь называется рациональной, если она представляется в виде отношения двух многочленов. Рациональная функция является правильной, если степень многочлена в числителе меньше степени многочлена в знаменателе. Ниже приводится список интегралов от часто встречающихся рациональных функций.

  2. Интеграл от постоянного числа  
    \(\large\int\normalsize {adx} = ax + C\)

  3. Интеграл от \(x\)  
    \(\large\int\normalsize {xdx} = \large\frac{{{x^2}}}{2}\normalsize + C\)

  4. Интеграл от \({x^2}\)  
    \(\large\int\normalsize {{x^2}dx} = \large\frac{{{x^3}}}{3}\normalsize + C\)

  5. Интеграл от степенной функции  
    \(\large\int\normalsize {{x^p}dx} = \large\frac{{{x^{p + 1}}}}{{p + 1}}\normalsize + C,\;\;p \ne - 1.\)

  6. Интеграл от линейной функции в степени n  
    \(\large\int\normalsize {{{\left( {ax + b} \right)}^n}dx} = \large\frac{{{{\left( {ax + b} \right)}^{n + 1}}}}{{a\left( {n + 1} \right)}}\normalsize + C,\;\;n \ne - 1.\)

  7. Интеграл от обратно пропорциональной функции  
    \(\large\int {\frac{{dx}}{x}}\normalsize = \ln \left| x \right| + C\)

  8. Интеграл от дробной функции с линейным знаменателем  
    \(\large\int {\frac{{dx}}{{ax + b}}}\normalsize = \large\frac{1}{a}\normalsize\ln \left| {ax + b} \right| + C\)

  9. Интеграл от дробно-линейной функции  
    \(\large\int {\frac{{ax + b}}{{cx + d}}\normalsize dx} = \large\frac{a}{c}\normalsize x + \large\frac{{bc - ad}}{{{c^2}}}\,\normalsize \ln \left| {cx + d} \right| + C\)

  10. \(\large\int {\frac{{dx}}{{\left( {x + a} \right)\left( {x + b} \right)}}}\normalsize = \large\frac{1}{{a - b}}\normalsize \,\ln \left| {\large\frac{{x + b}}{{x + a}}\normalsize} \right| + C,\;\;a \ne b.\) 

  11. \(\large\int {\frac{{dx}}{{a + bx}}}\normalsize = \large\frac{1}{{{b^2}}}\normalsize\left( {a + bx - a\ln \left| {a + bx} \right|} \right) + C\) 

  12. \(\large\int {\frac{{{x^2}dx}}{{a + bx}}}\normalsize = \large\frac{1}{{{b^3}}}\normalsize\left[ {\large\frac{1}{2}\normalsize{{\left( {a + bx} \right)}^2} - 2a\left( {a + bx} \right) + {a^2}\ln \left| {a + bx} \right|} \right] + C\) 

  13. \(\large\int {\frac{{dx}}{{x\left( {a + bx} \right)}}}\normalsize = \large\frac{1}{a}\normalsize\ln \left| {\large\frac{{a + bx}}{x}}\normalsize \right| + C\) 

  14. \(\large\int {\frac{{dx}}{{{x^2}\left( {a + bx} \right)}}}\normalsize = - \large\frac{1}{{ax}}\normalsize + \large\frac{b}{{{a^2}}}\normalsize\ln \left| {\large\frac{{a + bx}}{x}}\normalsize \right| + C\) 

  15. \(\large\int {\frac{{xdx}}{{{{\left( {a + bx} \right)}^2}}}}\normalsize = \large\frac{1}{{{b^2}}}\normalsize\left( {\ln \left| {a + bx} \right| + \large\frac{a}{{a + bx}}\normalsize} \right) + C\) 

  16. \(\large\int {\frac{{{x^2}dx}}{{{{\left( {a + bx} \right)}^2}}}}\normalsize = \large\frac{1}{{{b^3}}}\normalsize\left( {a + bx - 2a\ln \left| {a + bx} \right| - \large\frac{{{a^2}}}{{a + bx}}\normalsize} \right) + C\) 

  17. \(\large\int {\frac{{dx}}{{x{{\left( {a + bx} \right)}^2}}}}\normalsize = \large\frac{1}{{a\left( {a + bx} \right)}}\normalsize + \large\frac{1}{{{a^2}}}\normalsize\ln \left| {\large\frac{{a + bx}}{x}}\normalsize \right| + C\) 

  18. \(\large\int {\frac{{dx}}{{{x^2} - 1}}}\normalsize = \large\frac{1}{2}\normalsize\ln \left| {\large\frac{{x - 1}}{{x + 1}}\normalsize} \right| + C\) 

  19. \(\large\int {\frac{{dx}}{{1 - {x^2}}}}\normalsize = \large\frac{1}{2}\normalsize\ln \left| {\large\frac{{1 + x}}{{1 - x}}\normalsize} \right| + C\) 

  20. \(\large\int {\frac{{dx}}{{{a^2} - {x^2}}}}\normalsize = \large\frac{1}{2a}\normalsize\ln \left| {\large\frac{{a + x}}{{a - x}}\normalsize} \right| + C\) 

  21. \(\large\int {\frac{{dx}}{{{x^2} - {a^2}}}}\normalsize = \large\frac{1}{2a}\normalsize\ln \left| {\large\frac{{x - a}}{{x + a}}\normalsize} \right| + C\) 

  22. \(\large\int {\frac{{dx}}{{1 + {x^2}}}}\normalsize = \arctan x + C\) 

  23. \(\large\int {\frac{{dx}}{{{a^2} + {x^2}}}}\normalsize = \large\frac{1}{a}\normalsize\arctan \large\frac{x}{a}\normalsize + C\) 

  24. \(\large\int {\frac{{xdx}}{{{a^2} + {x^2}}}}\normalsize = \large\frac{1}{2}\normalsize \ln\left( {{x^2} + {a^2}} \right) + C\) 

  25. \(\large\int {\frac{{dx}}{{a + b{x^2}}}}\normalsize = \large\frac{1}{{\sqrt {ab} }}\normalsize \arctan\left( {x\sqrt {\large\frac{b}{a}}\normalsize } \right) + C,\;\;ab > 0.\) 

  26. \(\large\int {\frac{{xdx}}{{a + b{x^2}}}}\normalsize = \large\frac{1}{{2b}}\normalsize \ln\left| {{x^2} + \large\frac{a}{b}\normalsize} \right| + C\) 

  27. \(\large\int {\frac{{dx}}{{x\left( {a + b{x^2}}\normalsize \right)}}} = \large\frac{1}{{2a}}\normalsize \ln\left| {\large\frac{{{x^2}}}{{a + b{x^2}}}\normalsize} \right| + C\) 

  28. \(\large\int {\frac{{dx}}{{{a^2} - {b^2}{x^2}}}}\normalsize = \large\frac{1}{{2ab}}\,\normalsize \ln\left| {\large\frac{{a + bx}}{{a - bx}}\normalsize} \right| + C\) 

  29. Интеграл от рациональной дроби с квадратичной функцией в знаменателе
    (случай положительного дискриминанта)
     
    \(\large\int {\frac{{dx}}{{a{x^2} + bx + c}}}\normalsize = \large\frac{1}{{\sqrt {{b^2} - 4ac} }}\normalsize \ln\left| {\large\frac{{2ax + b - \sqrt {{b^2} - 4ac} }}{{2ax + b + \sqrt {{b^2} - 4ac} }}}\normalsize \right| + C,\;\;D = {b^2} - 4ac > 0.\)

  30. Интеграл от рациональной дроби с квадратичной функцией в знаменателе
    (случай отрицательного дискриминанта)
     
    \(\large\int {\frac{{dx}}{{a{x^2} + bx + c}}}\normalsize = \large\frac{1}{{\sqrt {4ac - {b^2}} }}\normalsize \arctan\large\frac{{2ax + b}}{{\sqrt {4ac - {b^2}} }}\normalsize + C,\;\;D = {b^2} - 4ac < 0.\)



Все права защищены © www.math24.ru, 2009-2016   info@math24.ru
Сайт оптимизирован для Chrome, Firefox, Safari и Internet Explorer.