Math24.ru
Дифференциальные Уравнения
Главная
Математический анализ
Пределы и непрерывность
Дифференцирование
Приложения производной
Интегрирование
Последовательности и ряды
Двойные интегралы
Тройные интегралы
Криволинейные интегралы
Поверхностные интегралы
Ряды Фурье
Дифференциальные уравнения
Уравнения 1-го порядка
Уравнения 2-го порядка
Уравнения N-го порядка
Системы уравнений
Формулы и таблицы
Powered by MathJax
   Динамика народонаселения
Рост населения представляет собой динамический процесс, который можно эффективно описать с помощью дифференциальных уравнений. Ниже мы рассмотрим несколько моделей роста, предложенных экономистами и физиками.
Мальтузианская модель роста
Простейшая модель роста народонаселения была предложена еще в \(1798\) году британским ученым Томасом Робертом Мальтусом. Эта модель отражает экспоненциальный рост населения и описывается дифференциальным уравнением \[\frac{{dN}}{{dt}} = aN,\] где \(a\) − постоянная роста (мальтузианский параметр). Решением данного уравнения является экспоненциальная функция \[N\left( t \right) = {N_0}{e^{at}},\] где \({N_0}\) соответствует первоначальному размеру популяции.

Данная простая модель корректно описывает начальную фазу роста. Однако точность экспоненциальной модели снижается по мере роста населения вследствие насыщения и других нелинейных эффектов (рисунок \(1\)).
экспоненциальный рост народонаселения
логистическая модель роста населения
Рис.1
Рис.2
логистическая модель роста населения
гиперболическая модель роста населения
Рис.3
Рис.4
Логистическая модель
Данный класс моделей народонаселения был предложен французским математиком Пьером Франсуа Фергельстом в \(1838\) году. Эта модель также называется логистической моделью и записывается в виде следующего дифференциального уравнения: \[\frac{{dN}}{{dt}} = aN\left( {1 - \frac{N}{M}} \right),\] где \(M\) обозначает максимальный размер популяции. Правую часть уравнения можно записать в виде: \[aN - \frac{{a{N^2}}}{M},\] где первое слагаемое соответствует росту популяции, а второе слагаемое ограничивает этот рост из-за отсутствия ресурсов или по другим причинам (рисунки \(2,3\)). Логистическая дифференциальная модель имеет точное решение, которое выводится ниже. \[ {\frac{{dN}}{{dt}} = aN\left( {1 - \frac{N}{M}} \right),}\;\; {\Rightarrow \int {\frac{{dN}}{{N\left( {1 - \frac{N}{M}} \right)}}} = \int {adt} .} \] Подынтегральное выражение в левом интеграле можно разложить на более простые дроби с помощью метода неопределенных коэффициентов: \[ {\frac{1}{{N\left( {1 - \frac{N}{M}} \right)}} = \frac{A}{N} + \frac{B}{{1 - \frac{N}{M}}},}\;\; {\Rightarrow \frac{1}{{N\left( {1 - \frac{N}{M}} \right)}} = \frac{{A\left( {1 - \frac{N}{M}} \right) + BN}}{{N\left( {1 - \frac{N}{M}} \right)}},}\;\; {\Rightarrow 1 \equiv A - A\frac{N}{M} + BN,}\;\; {\Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {A = 1}\\ {B = \frac{1}{M}} \end{array}} \right..} \] Тогда интеграл в левой части принимает вид: \[ {\int {\frac{{dN}}{{N\left( {1 - \frac{N}{M}} \right)}}} } = {\int {\left( {\frac{1}{N} + \frac{{\frac{1}{M}}}{{1 - \frac{N}{M}}}} \right)dN} } = {\int {\frac{{dN}}{N}} + \int {\frac{{d\left( {\frac{N}{M}} \right)}}{{1 - \frac{N}{M}}}} } = {\ln \left| N \right| - \ln \left| {1 - \frac{N}{M}} \right| } = {\ln \left| {\frac{N}{{1 - \frac{N}{M}}}} \right| } = {\ln \frac{N}{{1 - \frac{N}{M}}}.} \] Таким образом, общее решение логистического дифференциального уравнения записывается в виде: \[ {\ln \frac{N}{{1 - \frac{N}{M}}} = at + \ln C,}\;\; {\Rightarrow \ln \frac{N}{{1 - \frac{N}{M}}} = \ln {e^{at}} + \ln C,}\;\; {\Rightarrow \ln \frac{N}{{1 - \frac{N}{M}}} = \ln C{e^{at}},}\;\; {\Rightarrow \frac{N}{{1 - \frac{N}{M}}} = C{e^{at}}.} \] Последнее алгебраическое уравнение можно разрешить относительно \(N:\) \[ {N = C{e^{at}} - \frac{N}{M}C{e^{at}},}\;\; {\Rightarrow N\left( {1 + \frac{1}{M}C{e^{at}}} \right) = C{e^{at}},}\;\; {\Rightarrow N = \frac{{C{e^{at}}}}{{1 + \frac{1}{M}C{e^{at}}}} = \frac{{CM{e^{at}}}}{{M + C{e^{at}}}}.} \] Постоянная \(C\) определяется из начального условия \(N\left( {t = 0} \right) = {N_0},\) так что \[ {{N_0} = \frac{{CM \cdot 1}}{{M + C}},}\;\; {\Rightarrow CM = {N_0}M + C{N_0},}\;\; {\Rightarrow C = \frac{{{N_0}M}}{{M - {N_0}}}.} \] Подставляя это значение \(C\) в общее решение, получаем: \[ {N\left( t \right) = \frac{{\frac{{{N_0}{M^2}{e^{at}}}}{{M - {N_0}}}}}{{M + \frac{{{N_0}M{e^{at}}}}{{M - {N_0}}}}} } = {\frac{{{N_0}{M^2}{e^{at}}}}{{{M^2} - {N_0}M + {N_0}M{e^{at}}}} } = {\frac{{{N_0}M{e^{at}}}}{{M - {N_0} + {N_0}{e^{at}}}} } = {\frac{{{N_0}M}}{{{N_0} + \left( {M - {N_0}} \right){e^{ - at}}}}.} \] График логистической кривой выглядит очень красиво. Рисунок \(2\) показывает несколько таких кривых при разных значениях \({N_0},\) а рисунок \(3\) показывает как форма логистической кривой зависит от постоянной роста \(a.\)

Мы видим, что семейство логистических кривых на отрезке \(t > 0\) может описывать нелинейный рост населения с учетом эффекта насыщения.
Гиперболические модели роста
Рассмотренные выше модели полезны при анализе демографических процессов в масштабе столетий. Если же рассмотреть рост народонаселения в течение нескольких тысяч лет (рисунок \(4\)), то хорошо видно, что основной взрывной рост населения Земли от \(2\) до \(7\) миллиардов человек происходил в последние \(50\) лет. Такой тип зависимости напоминает гиперболическую кривую. Простая гиперболическая модель роста, предложенная несколькими исследователями [Форстер \(\left( {1960} \right),\) Хостер \(\left( {1975} \right),\) Шкловский \(\left( {1980} \right)\)], описывается выражением вида \[N\left( t \right) = \frac{C}{{{T_1} - t}} = \frac{{200}}{{2025 - t}}\,\left( \text{млрд.} \right)\] Из последней формулы следует, что население Земли стремится к бесконечности при приближении к \(2025\) году.

В действительности, реальная динамика населения демонстрирует так называемый демографический переход, который следует за фазой взрывного роста. Это новое состояние характеризуется снижающейся рождаемостью и смертностью. Такой переход уже произошел во многих развитых странах. В результате демографического перехода рост населения прекращается и население может даже убывать. Глобальное население Земли вступило в фазу демографического перехода в начале \(21\) века.

Оказывается, что такая сложная динамика народонаселения может также хорошо описываться с помощью дифференциальных уравнений! Модель данного типа была недавно (\(1997\) г.) разработана российским физиком Сергеем Капицей. С.Капица предложил описывать взрывной рост следующим уравнением: \[\frac{{dN}}{{dt}} = \frac{C}{{{{\left( {{T_0} - t} \right)}^2} + {\tau ^2}}},\] где \({{T_0}}, C\) и \(\tau\) − некоторые параметры аппроксимации. Это дифференциальное уравнение имеет точное решение в виде функции \[N\left( t \right) = \frac{C}{\tau }\text{arccot}\, \frac{{{T_0} - t}}{\tau }.\] Указанная функция замечательно описывает взрывной рост глобального населения при следующих значениях параметров: \(C = 1.86 \times {10^{11}},\) \({T_0} = 2007,\) \(\tau = 42.\) Кроме того, модель учитывает фазу демографического перехода, когда население достигает насыщения (см. рисунок \(4\) выше). Согласно данной модели, население Земли достигнет максимального значения примерно \(12\) миллиардов в \(2200-2300\) г.

Все права защищены © www.math24.ru, 2009-2016   info@math24.ru
Сайт оптимизирован для Chrome, Firefox, Safari и Internet Explorer.