Math24.ru
Формулы и Таблицы
Главная
Математический анализ
Пределы и непрерывность
Дифференцирование
Приложения производной
Интегрирование
Последовательности и ряды
Двойные интегралы
Тройные интегралы
Криволинейные интегралы
Поверхностные интегралы
Ряды Фурье
Дифференциальные уравнения
Уравнения 1-го порядка
Уравнения 2-го порядка
Уравнения N-го порядка
Системы уравнений
Формулы и таблицы
Powered by MathJax
   Действия со степенями
Множество натуральных чисел: \(\mathbb{N}\)
Множество целых чисел: \(\mathbb{Z}\)
Множество рациональных чисел: \(\mathbb{Q}\)
Множество действительных чисел: \(\mathbb{R}\)
Основания: \(a\), \(b\)
Показатели степени: \(n\), \(m\), \(r\), \({r_n}\), \(\beta\), \(u\), \(v\)
Натуральные числа: \(n\), \(m\), \(q\)
Целые числа: \(p\)
Рациональные числа: \(r\), \({r_n}\)
Иррациональные числа: \(\beta\)
Действительные числа: \(u\), \(v\)
  1. Степенью действительного числа a с натуральным показателем n называется выражение
    \({a^n} = \underbrace {a \cdot a \ldots a}_{n\text{ раз}}, \text{ где } a \in \mathbb{R},n \in \mathbb{N}\).


             Свойства степеней с натуральным показателем
  1. Умножение степеней с одинаковыми основаниями
    \({a^n}{a^m} = {a^{n + m}}\)

  2. Деление степеней с одинаковыми основаниями
    \({a^n}/{a^m} = {a^{n - m}}\;\left( {n > m} \right)\)

  3. Степень произведения
    \({\left( {ab} \right)^n} = {a^n}{b^n}\)

  4. Степень частного
    \({\left( {\large\frac{a}{b}}\normalsize \right)^n} = \large\frac{{{a^n}}}{{{b^n}}}\normalsize\;\;\left( {b \ne 0} \right)\)

  5. Двойное возведение в степень
    \({\left( {{a^n}} \right)^m} = {a^{nm}}\)

  6. \({0^n} = 0\) 

  7. \({1^n} = 1\) 

  8. \({a^1} = a\) 

  9. Возведение отрицательного числа в четную степень
    \({\left( { - a} \right)^{2n}} = {a^{2n}}\;\left( {a > 0} \right)\)

  10. Возведение отрицательного числа в нечетную степень
    \({\left( { - a} \right)^{2n + 1}} = - {a^{2n + 1}}\;\;\left( {a > 0} \right)\)


             Свойства степеней с целым показателем
  1. Нулевая степень
    \({a^0} = 1\;\;\left( {a \ne 0} \right)\)

  2. Выражение \({0^0}\) не определено.

  3. Отрицательная степень
    \({a^{ - r}} = 1/{a^r},\text{ где }r \in \mathbb{Q},a \ne 0\).


             Свойства степеней с рациональным показателем
  1. Степенью положительного действительного числа \(a\) с рациональным показателем \(p/q\) называется выражение
    \({a^{p/q}} = \sqrt[\large q\normalsize]{{{a^p}}},\text{ где }a \ge 0,p \in \mathbb{Z},q \in \mathbb{N}\).

             Свойства степеней с действительным показателем
  1. Определение степени с иррациональным показателем \(\beta\):
    \({a^\beta } = \lim\limits_{{r_n} \to \beta } {a^{{r_n}}},\)
    где \({r_n}\) представляет собой произвольную последовательность рациональных чисел, сходящуюся к показателю \(\beta\).

  2. Для любых действительных показателей \(u\), \(v\) при условии \(a > 0\) и \(b > 0\) справедливы следующие действия со степенями:
    \({a^u}{a^v} = {a^{u + v}}\),  \({\left( {{a^u}} \right)^v} = {a^{uv}}\),  \({a^{ - u}} = 1/{a^u}\),  \(\large\frac{{{a^u}}}{{{a^v}}}\normalsize = {a^{u - v}}\),  \({\left( {ab} \right)^u} = {a^u}{b^u}\),  \({\left( {\large\frac{a}{b}}\normalsize \right)^u} = \large\frac{{{a^u}}}{{{b^u}}}\normalsize .\)



Все права защищены © www.math24.ru, 2009-2016   info@math24.ru
Сайт оптимизирован для Chrome, Firefox, Safari и Internet Explorer.