Math24.ru
Формулы и Таблицы
Главная
Математический анализ
Пределы и непрерывность
Дифференцирование
Приложения производной
Интегрирование
Последовательности и ряды
Двойные интегралы
Тройные интегралы
Криволинейные интегралы
Поверхностные интегралы
Ряды Фурье
Дифференциальные уравнения
Уравнения 1-го порядка
Уравнения 2-го порядка
Уравнения N-го порядка
Системы уравнений
Формулы и таблицы
Powered by MathJax
   Двумерная система координат
Точки на плоскости: \(A\), \(B\), \(C\), \(D\)
Координаты точек: \(\left( {{x_0},{y_0}} \right)\), \(\left( {{x_1},{y_1}} \right)\), \(\left( {{x_2},{y_2}} \right)\), \(\left( {{x_3},{y_3}} \right)\)
Точка пересечения медиан: \(M\left( {{x_0},{y_0}} \right)\)
Точка пересечения биссектрис: \(I\left( {{x_0},{y_0}} \right)\)
Точка пересечения серединных перпендикуляров: \(O\left( {{x_0},{y_0}} \right)\)
Точка пересечения высот: \(H\left( {{x_0},{y_0}} \right)\)
Расстояние между точками: \(d\)
Действительное число: \(\lambda\)
Полярные углы: \(\varphi\), \({\varphi_1}\), \({\varphi_2}\)
Полярные радиусы: \(r\), \({r_1}\), \({r_2}\)
Площадь фигуры: \(S\)
  1. Двумерная прямоугольная система координат образуется двумя взаимно перпендикулярными осями. Оси пересекаются в точке \(O\), которая называется началом координат. В правосторонней системе одна из осей (ось \(Ox\)) направлена вправо, другая ось \(Oy\) направлена вертикально вверх. Координаты любой точки на плоскости \(xOy\) определяются двумя действительными числами \(x\) и \(y\), которые являются ортогональными проекциями точки на соответствующие координатные оси. Координата \(x\) называется абсциссой точки, координата \(y\) − ее ординатой.

  2. Расстояние между двумя точками \(A\left( {{x_1},{y_1}} \right)\) и \(B\left( {{x_2},{y_2}} \right)\) на плоскости определяется выражением
    \(d = \left| {AB} \right| = \sqrt {{{\left( {{x_2} - {x_1}} \right)}^2} + {{\left( {{y_2} - {y_1}} \right)}^2}} \)

    расстояние между точками на плоскости

  3. Деление отрезка в отношении \(\lambda\)
    Пусть точка \(C\left( {{x_0},{y_0}} \right)\) делит отрезок \(AB\) в отношении \(\lambda\). Координаты точки \(C\) определяются соотношениями
    \({x_0} = \large\frac{{{x_1} + \lambda {x_2}}}{{1 + \lambda }}\normalsize,\;\;{y_0} = \large\frac{{{y_1} + \lambda {y_2}}}{{1 + \lambda }}\normalsize,\;\;\lambda = \large\frac{{AC}}{{CB}}\normalsize,\;\;\lambda \ne - 1, \\ \)
    где \({x_1}\), \({y_1}\) − координаты точки \(A\), \({x_2}\), \({y_2}\) − координаты точки \(B\).

    деление отрезка на плоскости в заданном отношении

  4. Координаты середины отрезка находятся из предыдущей формулы при \(\lambda = 1\):
    \({x_0} = \large\frac{{{x_1} + {x_2}}}{2}\normalsize,\;\;{y_0} = \large\frac{{{y_1} + {y_2}}}{2}\normalsize,\;\;\lambda = \large\frac{{AC}}{{CB}}\normalsize = 1.\)

  5. Точка пересечения медиан треугольника имеет следующие координаты:
    \({x_0} = \large\frac{{{x_1} + {x_2} + {x_3}}}{3}\normalsize,\;\;{y_0} = \large\frac{{{y_1} + {y_2} + {y_3}}}{3}\normalsize,\\ \)
    где \(A\left( {{x_1},{y_1}} \right)\), \(B\left( {{x_2},{y_2}} \right)\) и \(C\left( {{x_3},{y_3}} \right)\) − вершины треугольника \(ABC\). В однородном треугольнике точка пересечения медиан \(M\left( {{x_0},{y_0}} \right)\) является также центром тяжести или центроидом.

    центроид однородного треугольника

  6. Координаты точки пересечения биссектрис треугольника (центра вписанной окружности) определяются соотношениями:
    \({x_0} = \large\frac{{a{x_1} + b{x_2} + c{x_3}}}{{a + b + c}}\normalsize,\;\;{y_0} = \large\frac{{a{y_1} + b{y_2} + c{y_3}}}{{a + b + c}}\normalsize,\\ \)
    где \(a = BC\), \(b = AC\), \(c= AB\).

    пересечение биссектрис треугольника

  7. Точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника является центром описанной окружности и имеет координаты
    \({x_0} = \large\frac{{\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {x_1^2 + y_1^2} & {{y_1}} & 1\\ {x_2^2 + y_2^2} & {{y_2}} & 1\\ {x_3^2 + y_3^2} & {{y_3}} & 1 \end{array}} \right|}}{{2\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1}} & {{y_1}} & 1\\ {{x_2}} & {{y_2}} & 1\\ {{x_3}} & {{y_3}} & 1 \end{array}} \right|}}\normalsize,\;\;{y_0} = \large\frac{{\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1}} & {x_1^2 + y_1^2} & 1\\ {{x_2}} & {x_2^2 + y_2^2} & 1\\ {{x_3}} & {x_3^2 + y_3^2} & 1 \end{array}} \right|}}{{2\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1}} & {{y_1}} & 1\\ {{x_2}} & {{y_2}} & 1\\ {{x_3}} & {{y_3}} & 1 \end{array}} \right|}}\normalsize\)

    точка пересечения серединных перпендикуляров

  8. Точка пересечения высот треугольника
    \({x_0} = \large\frac{{\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{y_1}} & {{x_2}{x_3} + y_1^2} & 1\\ {{y_2}} & {{x_3}{x_1} + y_2^2} & 1\\ {{y_3}} & {{x_1}{x_2} + y_3^2} & 1 \end{array}} \right|}}{{\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1}} & {{y_1}} & 1\\ {{x_2}} & {{y_2}} & 1\\ {{x_3}} & {{y_3}} & 1 \end{array}} \right|}}\normalsize,\;\;{y_0} = \large\frac{{\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {x_1^2 + {y_2}{y_3}} & {{x_1}} & 1\\ {x_2^2 + {y_3}{y_1}} & {{x_2}} & 1\\ {x_3^2 + {y_1}{y_2}} & {{x_3}} & 1 \end{array}} \right|}}{{\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1}} & {{y_1}} & 1\\ {{x_2}} & {{y_2}} & 1\\ {{x_3}} & {{y_3}} & 1 \end{array}} \right|}}\normalsize\)

    пересечение высот треугольника

  9. Площадь треугольника
    \(S = \left( \pm \right)\large\frac{1}{2}\normalsize\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1}} & {{y_1}} & 1\\ {{x_2}} & {{y_2}} & 1\\ {{x_3}} & {{y_3}} & 1 \end{array}} \right| = \left( \pm \right)\large\frac{1}{2}\normalsize\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_2} - {x_1}} & {{y_2} - {y_1}}\\ {{x_3} - {x_1}} & {{y_3} - {y_1}} \end{array}} \right|,\\ \)
    где \(A\left( {{x_1},{y_1}} \right)\), \(B\left( {{x_2},{y_2}} \right)\) и \(C\left( {{x_3},{y_3}} \right)\) − вершины треугольника \(ABC\), и знак в правой части выбирается таким образом, чтобы значение площади было неотрицательным.

  10. Площадь четырехугольника
    \(S = \left( \pm \right)\large\frac{1}{2}\normalsize\left[ {\left( {{x_1} - {x_2}} \right)\left( {{y_1} + {y_2}} \right) + \left( {{x_2} - {x_3}} \right)\left( {{y_2} + {y_3}} \right) \\ + \left( {{x_3} - {x_0}} \right)\left( {{y_3} + {y_0}} \right) + \left( {{x_0} - {x_1}} \right)\left( {{y_0} + {y_1}} \right)} \right],\\ \)
    где \(A\left( {{x_1},{y_1}} \right)\), \(B\left( {{x_2},{y_2}} \right)\), \(C\left( {{x_3},{y_3}} \right)\), \(D\left( {{x_0},{y_0}} \right)\) − вершины четырехугольника \(ABCD\). Знак в правой части выбирается таким образом, чтобы площадь четырехугольника имела неотрицательное значение.

    четырехугольник

  11. Расстояние между двумя точками в полярных координатах  
    \(d = \left| {AB} \right| = \sqrt {r_1^2 + r_2^2 - 2{r_1}{r_2}\cos \left( {{\varphi_2} - {\varphi_1}} \right)} \)

    расстояние между двумя точками в полярной системе координат

  12. Переход от прямоугольных координат к полярным координатам  
    \(x = r\cos \varphi ,\;\;y = r\sin \varphi \)

    преобразование прямоугольных координат в полярные координаты

  13. Обратный переход от полярных координат к прямоугольным координатам  
    \(r = \sqrt {{x^2} + {y^2}} ,\;\;\tan \varphi = \large\frac{y}{x}\normalsize.\)



Все права защищены © www.math24.ru, 2009-2016   info@math24.ru
Сайт оптимизирован для Chrome, Firefox, Safari и Internet Explorer.