Math24.ru
Формулы и Таблицы
Главная
Математический анализ
Пределы и непрерывность
Дифференцирование
Приложения производной
Интегрирование
Последовательности и ряды
Двойные интегралы
Тройные интегралы
Криволинейные интегралы
Поверхностные интегралы
Ряды Фурье
Дифференциальные уравнения
Уравнения 1-го порядка
Уравнения 2-го порядка
Уравнения N-го порядка
Системы уравнений
Формулы и таблицы
Powered by MathJax
   Гипербола и парабола
Действительная ось гиперболы: \(a\)
Мнимая ось гиперболы: \(b\)
Действительные числа: \(A\), \(B\), \(C\), \(D\), \(E\), \(F\), \(t\)
Координаты точек: \(x\), \(y\)
Фокусное расстояние: \(2c\)
Фокусы гиперболы: \({F_1}\), \({F_2}\)
Расстояния от точек гиперболы до фокусов: \({r_1}\), \({r_2}\)
Эксцентриситет гиперболы: \(e\)
Параметр параболы: \(p\)
Фокус параболы: \(F\)
  1. Гипербола представляет собой плоскую кривую, для каждой точки которой модуль разности расстояний до двух заданных точек (фокусов гиперболы) является постоянным. Расстояние между фокусами гиперболы называется фокусным расстоянием и обозначается через \(2c\). Середина отрезка, соединяющего фокусы, называется центром. У гиперболы имеются две оси симметрии: фокальная или действительная ось, проходящая через фокусы, и перпендикулярная ей мнимая ось, проходящая через центр. Действительная ось пересекает ветви гиперболы в точках, которые называются вершинами. Отрезок, соединяющий центр гиперболы с вершиной, называется действительной полуосью и обозначается через \(a\). Мнимая полуось обозначается символом \(b\). Каноническое уравнение гиперболы записывается в виде
    \(\large\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}}\normalsize - \large\frac{{{y^2}}}{{{b^2}}}\normalsize = 1\).

    гипербола

  2. Модуль разности расстояний от любой точки гиперболы до ее фокусов является постоянной величиной:
    \(\left| {{r_1} - {r_2}} \right| = 2a\),
    где \({r_1}\), \({r_2}\) − расстояния от произвольной точки \(P\left( {x,y} \right)\) гиперболы до фокусов \({F_1}\) и \({F_2}\), \(a\) − действительная полуось гиперболы.

    фокусы гиперболы

  3. Уравнения асимптот гиперболы  
    \(y = \pm \large\frac{b}{a}\normalsize x\)

  4. Соотношение между полуосями гиперболы и фокусным расстоянием
    \({c^2} = {a^2} + {b^2}\),
    где \(c\) − половина фокусного расстояния, \(a\) − действительная полуось гиперболы, \(b\) − мнимая полуось.

  5. Эксцентриситет гиперболы
    \(e = \large\frac{c}{a}\normalsize > 1\)

  6. Уравнения директрис гиперболы
    Директрисой гиперболы называется прямая, перпендикулярная ее действительной оси и пересекающая ее на расстоянии \(\large\frac{a}{e}\normalsize\) от центра. У гиперболы − две директрисы, отстоящие по разные стороны от центра. Уравнения директрис имеют вид
    \(x = \pm \large\frac{a}{e}\normalsize = \pm \large\frac{{{a^2}}}{c}\normalsize\).

  7. Уравнение правой ветви гиперболы в параметрической форме
    \( \left\{ \begin{aligned} x &= a \cosh t \\ y &= b \sinh t \end{aligned} \right., \;\;0 \le t \le 2\pi\),
    где \(a\), \(b\) − полуоси гиперболы, \(t\) − параметр.

  8. Общее уравнение гиперболы
    \(A{x^2} + Bxy + C{y^2} + Dx + Ey + F = 0\),
    где \(B^2 - 4AC > 0\).

  9. Общее уравнение гиперболы, полуоси которой параллельны осям координат
    \(A{x^2} + C{y^2} + Dx + Ey + F = 0\),
    где \(AC < 0\).

  10. Равнобочная гипербола
    Гипербола называется равнобочной, если ее полуоси одинаковы: \(a = b\). У такой гиперболы асимптоты взаимно перпендикулярны. Если асимптотами являются горизонтальная и вертикальная координатные оси (соответственно, \(y = 0\) и \(x = 0\)), то уравнение равнобочной гиперболы имеет вид
    \(xy = \large\frac{{{e^2}}}{4}\normalsize\)  или  \(y = \large\frac{k}{x}\normalsize\),  где  \(k = \large\frac{e^2}{4}\normalsize .\)

    прямоугольная гипербола

  11. Параболой называется плоская кривая, в каждой точки которой выполняется следующее свойство: расстояние до заданной точки (фокуса параболы) равно расстоянию до заданной прямой (директрисы параболы). Расстояние от фокуса до директрисы называется параметром параболы и обозначается через \(p\). Парабола имеет единственную ось симметрии, которая пересекает параболу в ее вершине. Каноническое уравнение параболы имеет вид
    \(y = 2px\).

    Уравнение директрисы  
    \(x = - \large\frac{p}{2}\normalsize\),
    где \(p\) − параметр параболы.

    Координаты фокуса  
    \(F \left( {\large\frac{p}{2}\normalsize, 0} \right)\)

    Координаты вершины  
    \(M \left( {0,0} \right)\)

    каноническое уравнение параболы

  12. Общее уравнение параболы  
    \(A{x^2} + Bxy + C{y^2} + Dx + Ey + F = 0\),
    где \(B^2 - 4AC = 0\).

  13. Уравнение параболы, ось симметрии которой параллельна оси \(Oy\)  
    \(A{x^2} + Dx + Ey + F = 0\;\left( {A \ne 0, E \ne 0} \right) \),
    или в эквивалентной форме
    \(y = a{x^2} + bx + c,\;\;p = \large\frac{1}{2a}\normalsize\)

    Уравнение директрисы
    \(y = {y_0} - \large\frac{p}{2}\normalsize\),
    где \(p\) − параметр параболы.

    Координаты фокуса  
    \(F\left( {{x_0},{y_0} + \large\frac{p}{2}\normalsize} \right)\)

    Координаты вершины  
    \({x_0} = - \large\frac{b}{{2a}}\normalsize,\;\;{y_0} = ax_0^2 + b{x_0} + c = \large\frac{{4ac - {b^2}}}{{4a}}\normalsize\)

    парабола, ось которой параллельна оси Oy

  14. Уравнение параболы с вершиной в начале координат и осью симметрии, параллельной оси \(Oy\)  
    \(y = a{x^2},\;\;p = \large\frac{1}{{2a}}\normalsize\)

    Уравнение директрисы  
    \(y = - \large\frac{p}{2}\normalsize\),
    где \(p\) − параметр параболы.

    Координаты фокуса  
    \(F \left( {0, \large\frac{p}{2}\normalsize} \right)\)

    Координаты вершины  
    \(M \left( {0,0} \right)\)

    парабола с вершиной в начале координат и осью, параллельной оси Oy



Все права защищены © www.math24.ru, 2009-2016   info@math24.ru
Сайт оптимизирован для Chrome, Firefox, Safari и Internet Explorer.