Math24.ru
Математический Анализ
Главная
Математический анализ
Пределы и непрерывность
Дифференцирование
Приложения производной
Интегрирование
Последовательности и ряды
Двойные интегралы
Тройные интегралы
Криволинейные интегралы
Поверхностные интегралы
Ряды Фурье
Дифференциальные уравнения
Уравнения 1-го порядка
Уравнения 2-го порядка
Уравнения N-го порядка
Системы уравнений
Формулы и таблицы
Powered by MathJax
   Выпуклость функций
Понятие выпуклости функции
Рассмотрим функцию \(y = f\left( x \right),\) которая предполагается непрерывной на отрезке \(\left[ {a,b} \right].\) Функция \(y = f\left( x \right)\) называется выпуклой вниз (или просто выпуклой), если для любых точек \({x_1}\) и \({x_2}\) из \(\left[ {a,b} \right]\) выполняется неравенство \[f\left( {\frac{{{x_1} + {x_2}}}{2}} \right) \le \frac{{f\left( {{x_1}} \right) + f\left( {{x_2}} \right)}}{2}.\] Если данное неравенство является строгим при любых \({x_1},{x_2} \in \left[ {a,b} \right],\) таких, что \({x_1} \ne {x_2},\) то функцию \(f\left( x \right)\) называют строго выпуклой вниз на отрезке \(\left[ {a,b} \right].\)

Аналогично определяется выпуклая вверх функция. Функция \(f\left( x \right)\) называется выпуклой вверх (или вогнутой), если для любых точек \({x_1}\) и \({x_2}\) отрезка \(\left[ {a,b} \right]\) справедливо неравенство \[f\left( {\frac{{{x_1} + {x_2}}}{2}} \right) \ge \frac{{f\left( {{x_1}} \right) + f\left( {{x_2}} \right)}}{2}.\] Если это неравенство является строгим при любых \({x_1},{x_2} \in \left[ {a,b} \right],\) таких, что \({x_1} \ne {x_2},\) то функцию \(f\left( x \right)\) называют строго выпуклой вверх на отрезке \(\left[ {a,b} \right].\)
Геометрическая интерпретация выпуклости функции
Введенные определения выпуклой функции имеют простую геометрическую интерпретацию.
определение функции выпуклой вниз
определение функции выпуклой вверх
Рис.1
Рис.2
Для функции, выпуклой вниз (рисунок \(1\)), середина \(B\) любой хорды \({A_1}{A_2}\) лежит выше соответствующей точки \({A_0}\) графика функции или совпадает с этой точкой.

Аналогично, для функции, выпуклой вверх (рисунок \(2\)), середина \(B\) любой хорды \({A_1}{A_2}\) лежит ниже соответствующей точки \({A_0}\) графика функции или совпадает с этой точкой.

Выпуклые функции обладают еще одним наглядным свойством, которое связано с расположением касательной к графику функции. Функция \(f\left( x \right)\) является выпуклой вниз на отрезке \(\left[ {a,b} \right]\) тогда и только тогда, когда ее график лежит не ниже касательной проведенной к нему в любой точке \({x_0}\) отрезка \(\left[ {a,b} \right]\) (рисунок \(3\)).
взаимное расположение касательной и графика выпуклой вниз функции
взаимное расположение касательной и графика выпуклой вверх функции
Рис.3
Рис.4
Соответственно, функция \(f\left( x \right)\) является выпуклой вверх на отрезке \(\left[ {a,b} \right]\) тогда и только тогда, когда ее график лежит не выше касательной проведенной к нему в любой точке \({x_0}\) отрезка \(\left[ {a,b} \right]\) (рисунок \(4\)). Данные свойства представляют собой теорему и могут быть доказаны с использованием определения выпуклости функции.
Достаточные условия выпуклости
Пусть для функции \(f\left( x \right)\) первая производная \(f'\left( x \right)\) существует на отрезке \(\left[ {a,b} \right],\) а вторая производная \(f''\left( x \right)\) − на интервале \(\left( {a,b} \right).\) Тогда справедливы следующие достаточные признаки выпуклости:
  • Если \(f''\left( x \right) \ge 0\) при всех \(x \in \left( {a,b} \right),\) то функция \(f\left( x \right)\) выпукла вниз на отрезке \(\left[ {a,b} \right];\)

  • Если \(f''\left( x \right) \le 0\) при всех \(x \in \left( {a,b} \right),\) то функция \(f\left( x \right)\) выпукла вверх на отрезке \(\left[ {a,b} \right].\)

В тех случаях, когда вторая производная строго больше (меньше) нуля, говорят, соответственно, о строгой выпуклости вниз (или вверх).

Докажем приведенную теорему для случая выпуклой вниз функции. Пусть функция \(f\left( x \right)\) имеет неотрицательную вторую производную на интервале \(\left( {a,b} \right):\) \(f''\left( x \right) \ge 0.\) Обозначим через \({x_0}\) середину отрезка \(\left[ {{x_1},{x_2}} \right].\) Предположим, что длина этого отрезка равна \(2h.\) Тогда координаты \({x_1}\) и \({x_2}\) можно записать в виде: \[{x_1} = {x_0} - h,\;\;{x_2} = {x_0} + h.\] Разложим функцию \(f\left( x \right)\) в точке \({x_0}\) в ряд Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа. Получаем следующие выражения: \[ {f\left( {{x_1}} \right) = f\left( {{x_0} - h} \right) } = {f\left( {{x_0}} \right) - f'\left( {{x_0}} \right)h + \frac{{f''\left( {{\xi _1}} \right){h^2}}}{{2!}},} \] \[ {f\left( {{x_2}} \right) = f\left( {{x_0} + h} \right) } = {f\left( {{x_0}} \right) + f'\left( {{x_0}} \right)h + \frac{{f''\left( {{\xi _2}} \right){h^2}}}{{2!}},} \] где \({x_0} - h < {\xi _1} < {x_0},\) \({x_0} < {\xi _2} < {x_0} + h.\)

Сложим оба равенства: \[ {f\left( {{x_1}} \right) + f\left( {{x_2}} \right) } = {2f\left( {{x_0}} \right) + \frac{{{h^2}}}{2}\left[ {f''\left( {{\xi _1}} \right) + f''\left( {{\xi _2}} \right)} \right].} \] Поскольку \({\xi _1},{\xi _2} \in \left( {a,b} \right),\) то вторые производные в правой части неотрицательны. Следовательно, \[f\left( {{x_1}} \right) + f\left( {{x_2}} \right) \ge 2f\left( {{x_0}} \right)\] или \[f\left( {\frac{{{x_1} + {x_2}}}{2}} \right) \le \frac{{f\left( {{x_1}} \right) + f\left( {{x_2}} \right)}}{2},\] то есть, в соответствии с определением, функция \(f\left( x \right)\) выпукла вниз.

Отметим, что необходимое условие выпуклости функции (т.е. прямая теорема, в которой, к примеру, из условия выпуклости вниз следует, что \(f''\left( x \right) \ge 0\)) выполняется лишь для нестрогого неравенства. В случае строгой выпуклости необходимое условие, вообще говоря, не соблюдается. Например, функция \(f\left( x \right) = {x^4}\) является строго выпуклой вниз. Однако в точке \(x = 0\) ее вторая производная равна нулю, т.е. строгое неравенство \(f''\left( x \right) \gt 0\) в этом случае не выполняется.
Свойства выпуклых функций
Перечислим некоторые свойства выпуклых функций, предполагая, что все функции определены и непрерывны на отрезке \(\left[ {a,b} \right].\)
  1. Если функции \(f\) и \(g\) выпуклы вниз (вверх), то любая их линейная комбинация \(af + bg,\) где \(a\), \(b\) − положительные действительные числа, также выпукла вниз (вверх).

  2. Если функция \(u = g\left( x \right)\) выпукла вниз, а функция \(y = f\left( u \right)\) является выпуклой вниз и неубывающей, то сложная функция \(y = f\left( {g\left( x \right)} \right)\) будет также выпуклой вниз.

  3. Если функция \(u = g\left( x \right)\) выпукла вверх, а функция \(y = f\left( u \right)\) является выпуклой вниз и невозрастающей, то сложная функция \(y = f\left( {g\left( x \right)} \right)\) будет выпуклой вниз.

  4. Локальный максимум выпуклой вверх функции, заданной на отрезке \(\left[ {a,b} \right],\) является одновременно ее наибольшим значением на этом отрезке.

  5. Локальный минимум выпуклой вниз функции, заданной на отрезке \(\left[ {a,b} \right],\) является одновременно ее наименьшим значением на этом отрезке.

   Пример 1
Изобразить схематически графики функций для всех возможных комбинаций \(y\), \(y'\), \(y''\), в которых каждая из указанных величин является положительной или отрицательной.

Решение.
Рассмотрим произвольную комбинацию данных величин, например следующего вида: \[y > 0,\;\;y' < 0,\;\;y'' > 0.\] График такой функции будет расположен в верхней полуплоскости, а сама функция будет строго убывающей (поскольку \(y' < 0\)). Так как \(y'' > 0,\) то функция выпукла вниз. Ее схематический вид представлен на рисунке \(5\) в первом столбце во втором ряду.
различные виды выпуклых функций
Рис.5
Ясно, что полное число возможных комбинаций трех величин с различными знаками равно \(8\). Эскизы соответствующих графиков функций показаны на рисунке \(5\).

   Пример 2
Найти значения \(x\), при которых кубическая функция \(f\left( x \right) = {x^3} + a{x^2} + bx + c\) выпукла вниз.

Решение.
Вычислим вторую производную заданной функции: \[ {f'\left( x \right) = {\left( {{x^3} + a{x^2} + bx + c} \right)^\prime } } = {3{x^2} + 2ax + b;} \] \[ {f''\left( x \right) = {\left( {3{x^2} + 2ax + b} \right)^\prime } } = {6x + 2a.} \] Функция будет выпуклой вверх при условии \(f''\left( x \right) \le 0.\) Находим соответствующие значения \(x:\) \[ {f''\left( x \right) \le 0,}\;\; {\Rightarrow 6x + 2a \le 0,}\;\; {\Rightarrow 6x \le - 2a,}\;\; {\Rightarrow x \le - \frac{a}{3}.} \]
   Пример 3
Найти промежутки выпуклости определенного знака функции \[f\left( x \right) = \sqrt {2 + {x^2}} .\]
Решение.
Данная функция определена и дифференцируема при всех \(x \in \mathbb{R}.\) Вычислим вторую производную: \[\require{cancel} {f'\left( x \right) = {\left( {\sqrt {2 + {x^2}} } \right)^\prime } } = {\frac{1}{{2\sqrt {2 + {x^2}} }} \cdot {\left( {2 + {x^2}} \right)^\prime } } = {\frac{{\cancel{2}x}}{{\cancel{2}\sqrt {2 + {x^2}} }} } = {\frac{x}{{\sqrt {2 + {x^2}} }};} \] \[ {f''\left( x \right) = {\left( {\frac{x}{{\sqrt {2 + {x^2}} }}} \right)^\prime } } = {\frac{{x'\sqrt {2 + {x^2}} - x{{\left( {\sqrt {2 + {x^2}} } \right)}^\prime }}}{{{{\left( {\sqrt {2 + {x^2}} } \right)}^2}}} } = {\frac{{\sqrt {2 + {x^2}} - x \cdot \frac{x}{{\sqrt {2 + {x^2}} }}}}{{2 + {x^2}}} } = {\frac{{{{\left( {\sqrt {2 + {x^2}} } \right)}^2} - {x^2}}}{{\left( {2 + {x^2}} \right)\sqrt {2 + {x^2}} }} } = {\frac{{2 + \cancel{x^2} - \cancel{x^2}}}{{\sqrt {{{\left( {2 + {x^2}} \right)}^3}} }} } = {\frac{2}{{\sqrt {{{\left( {2 + {x^2}} \right)}^3}} }}.} \] Видно, что вторая производная всегда положительна. Поэтому функция выпукла вниз при любых значениях \(x.\)

   Пример 4
Определить характер выпуклости кривой функции \(f\left( x \right) = \arctan x\) в точке \(x = 1.\)

Решение.
Последовательно дифференцируя, находим вторую производную: \[ {f'\left( x \right) = {\left( {\arctan x} \right)^\prime } } = {\frac{1}{{1 + {x^2}}};} \] \[ {f''\left( x \right) = {\left( {\frac{1}{{1 + {x^2}}}} \right)^\prime } } = {{\left[ {{{\left( {1 + {x^2}} \right)}^{ - 1}}} \right]^\prime } } = { - {\left( {1 + {x^2}} \right)^{ - 2}} \cdot 2x } = { - \frac{{2x}}{{{{\left( {1 + {x^2}} \right)}^2}}}.} \] Вычисляем значение второй производной в точке \(x = 1:\) \[ {f''\left( 1 \right) = - \frac{{2 \cdot 1}}{{{{\left( {1 + {1^2}} \right)}^2}}} } = { - \frac{1}{2} < 0.} \] Поскольку вторая производная отрицательна, то функция в этой точке выпукла вниз.

   Пример 5
Найти промежутки выпуклости определенного знака функции \[f\left( x \right) = \frac{1}{{1 + {x^2}}}.\]
Решение.
Функция определена и дифференцируема при всех \(x \in \mathbb{R}.\) Для определения направления выпуклости воспользуемся достаточным признаком и вычислим вторую производную: \[ {f'\left( x \right) = {\left( {\frac{1}{{1 + {x^2}}}} \right)^\prime } } = {{\left[ {{{\left( {1 + {x^2}} \right)}^{ - 1}}} \right]^\prime } } = { - \frac{{2x}}{{{{\left( {1 + {x^2}} \right)}^2}}};} \] \[ {f''\left( x \right) = {\left( { - \frac{{2x}}{{{{\left( {1 + {x^2}} \right)}^2}}}} \right)^\prime } } = { - \frac{{{{\left( {2x} \right)}^\prime }{{\left( {1 + {x^2}} \right)}^2} - 2x{{\left( {{{\left( {1 + {x^2}} \right)}^2}} \right)}^\prime }}}{{{{\left( {1 + {x^2}} \right)}^4}}} } = { - \frac{{2{{\left( {1 + {x^2}} \right)}^2} - 2x \cdot 2\left( {1 + {x^2}} \right) \cdot 2x}}{{{{\left( {1 + {x^2}} \right)}^4}}} } = { - \frac{{2\left( {1 + {x^2}} \right) - 8{x^2}}}{{{{\left( {1 + {x^2}} \right)}^3}}} } = { - \frac{{\color{red}{2} + \color{blue}{2{x^2}} - \color{blue}{8{x^2}}}}{{{{\left( {1 + {x^2}} \right)}^3}}} } = {\frac{{\color{blue}{6{x^2}} - \color{red}{2}}}{{{{\left( {1 + {x^2}} \right)}^3}}}.} \] Найдем интервалы, в которых производная имеет постоянный знак:
  1. \( {f''\left( x \right) > 0,}\;\; {\Rightarrow \large\frac{{6{x^2} - 2}}{{{{\left( {1 + {x^2}} \right)}^3}}}\normalsize > 0,}\;\; {\Rightarrow 6{x^2} - 2 > 0,}\;\; {\Rightarrow {x^2} > \large\frac{1}{3}\normalsize,}\;\; {\Rightarrow x \in \left( { - \infty , - \large\frac{1}{{\sqrt 3 }}\normalsize} \right) \cup \left( {\large\frac{1}{{\sqrt 3 }}\normalsize,\infty } \right);} \)

  2. \( {f''\left( x \right) < 0,}\;\; {\Rightarrow \large\frac{{6{x^2} - 2}}{{{{\left( {1 + {x^2}} \right)}^3}}}\normalsize < 0,}\;\; {\Rightarrow 6{x^2} - 2 < 0,}\;\; {\Rightarrow {x^2} < \large\frac{1}{3}\normalsize,}\;\; {\Rightarrow x \in \left( { - \large\frac{1}{{\sqrt 3 }}\normalsize,\large\frac{1}{{\sqrt 3 }}\normalsize} \right).} \)

Здесь при решении неравенств мы учли, что знаменатель в выражении для второй производной всегда положителен: \({\left( {1 + {x^2}} \right)^3} > 0.\)

Таким образом, исходя из знака второй производной, устанавливаем, что заданная функция
  • строго выпукла вверх в интервале \(\left( { - \large\frac{1}{{\sqrt 3 }}\normalsize,\large\frac{1}{{\sqrt 3 }}\normalsize} \right);\)

  • строго выпукла вниз в интервалах \(\left( { - \infty , - \large\frac{1}{{\sqrt 3 }}\normalsize} \right)\) и \(\left( {\large\frac{1}{{\sqrt 3 }}\normalsize, \infty} \right).\)

   Пример 6
Найти промежутки выпуклости вверх и вниз функции \[f\left( x \right) = x - \cos x.\]
Решение.
Последовательно дифференцируя, вычисляем вторую производную: \[ {f'\left( x \right) = {\left( {x - \cos x} \right)^\prime } } = {1 + \sin x,} \] \[ {f''\left( x \right) = {\left( {1 + \sin x} \right)^\prime } } = {\cos x.} \] Определим интервалы, в которых вторая производная положительна и отрицательна. Задача сводится к решению простейшего тригонометрического неравенства: \[ {f''\left( x \right) > 0,}\;\; {\Rightarrow \cos x > 0,}\;\; {\Rightarrow x \in \left( { - \frac{\pi }{2} + 2\pi n,\frac{\pi }{2} + 2\pi n} \right),\;n \in \mathbb{Z};} \] \[ {f''\left( x \right) < 0,}\;\; {\Rightarrow \cos x < 0,}\;\; {\Rightarrow x \in \left( { \frac{\pi }{2} + 2\pi k,\frac{3\pi }{2} + 2\pi k} \right),\;k \in \mathbb{Z}.} \] Следовательно, функция строго выпукла вниз при \(x \in \left( { - \large\frac{\pi }{2}\normalsize + 2\pi n,\large\frac{\pi }{2}\normalsize + 2\pi n} \right),\;n \in \mathbb{Z}\) и строго выпукла вверх при \(x \in \left( { \large\frac{\pi }{2}\normalsize + 2\pi k,\large\frac{3\pi }{2}\normalsize + 2\pi k} \right),\;k \in \mathbb{Z}.\)

Заметим, что линейный член \(x\) в выражении для функции не влияет на характер ее выпуклости.

   Пример 7
Найти промежутки выпуклости вверх и вниз полиномиальной функции \(4\)-го порядка: \[f\left( x \right) = {x^4} + 2{x^3} - 36{x^2} + 2x + 1.\]
Решение.
Последовательно дифференцируя, находим вторую производную: \[ {f'\left( x \right) = {\left( {{x^4} + 2{x^3} - 36{x^2} + 2x + 1} \right)^\prime } } = {4{x^3} + 6{x^2} - 72x + 2;} \] \[ {f''\left( x \right) = {\left( {4{x^3} + 6{x^2} - 72x + 2} \right)^\prime } } = {12{x^2} + 12x - 72 } = {12\left( {{x^2} + x - 6} \right).} \] Решим уравнение \(f''\left( x \right) = 0\) и определим знаки второй производной в соответствующих интервалах (рисунок \(6\)): \[ {f''\left( x \right) = 0,}\;\; {\Rightarrow 12\left( {{x^2} + x - 6} \right) = 0,}\;\; {\Rightarrow D = 1 + 4 \cdot \left( { - 6} \right) = 25,}\;\; {\Rightarrow {x_{1,2}} = \frac{{ - 1 \pm 5}}{2} = - 3;2.} \] Следовательно, данная функция (а также ее кривая) строго выпукла вниз в интервалах \(\left( { - \infty , - 3} \right)\) и \(\left( {2, + \infty } \right)\) и строго выпукла вверх в интервале \(\left( {-3, 2} \right).\)
промежутки выпуклости и вогнутости полинома 4 порядка
промежутки выпуклости и вогнутости дробно-рациональной функции
Рис.6
Рис.7
   Пример 8
Найти промежутки выпуклости определенного знака функции \[f\left( x \right) = \frac{{{x^3}}}{{1 + {x^2}}}.\]
Решение.
Очевидно, данная функция определена и дифференцируема при любых \(x.\) Находим последовательно первую и вторую производные: \[ {f'\left( x \right) = {\left( {\frac{{{x^3}}}{{1 + {x^2}}}} \right)^\prime } } = {\frac{{{{\left( {{x^3}} \right)}^\prime }\left( {1 + {x^2}} \right) - {x^3}{{\left( {1 + {x^2}} \right)}^\prime }}}{{{{\left( {1 + {x^2}} \right)}^2}}} } = {\frac{{3{x^2}\left( {1 + {x^2}} \right) - {x^3} \cdot 2x}}{{{{\left( {1 + {x^2}} \right)}^2}}} } = {\frac{{\color{blue}{3{x^2}} + \color{red}{3{x^4}} - \color{red}{2{x^4}}}}{{{{\left( {1 + {x^2}} \right)}^2}}} } = {\frac{{\color{blue}{3{x^2}} + \color{red}{x^4}}}{{{{\left( {1 + {x^2}} \right)}^2}}};} \] \[ {f''\left( x \right) = {\left( {\frac{{3{x^2} + {x^4}}}{{{{\left( {1 + {x^2}} \right)}^2}}}} \right)^\prime } } = {\frac{{{{\left( {3{x^2} + {x^4}} \right)}^\prime }{{\left( {1 + {x^2}} \right)}^2} - \left( {3{x^2} + {x^4}} \right){{\left( {{{\left( {1 + {x^2}} \right)}^2}} \right)}^\prime }}}{{{{\left( {1 + {x^2}} \right)}^4}}} } = {\frac{{\left( {6x + 4{x^3}} \right){{\left( {1 + {x^2}} \right)}^2} - \left( {3{x^2} + {x^4}} \right) \cdot 2\left( {1 + {x^2}} \right) \cdot 2x}}{{{{\left( {1 + {x^2}} \right)}^4}}} } = {\frac{{\left( {6x + 4{x^3}} \right)\left( {1 + {x^2}} \right) - 4x\left( {3{x^2} + {x^4}} \right)}}{{{{\left( {1 + {x^2}} \right)}^3}}} } = {\frac{{\color{green}{6x} + \color{maroon}{4{x^3}} + \color{maroon}{6{x^3}} + \cancel{\color{maroon}{4{x^3}}} - \color{maroon}{12{x^3}} - \cancel{\color{maroon}{4{x^3}}}}}{{{{\left( {1 + {x^2}} \right)}^3}}} } = {\frac{{\color{green}{6x} - \color{maroon}{2{x^3}}}}{{{{\left( {1 + {x^2}} \right)}^3}}}.} \] Определим интервалы знакопостоянства второй производной. Она имеет нули в следующих точках: \[ {f''\left( x \right) = 0,}\;\; {\Rightarrow \frac{{6x - 2{x^3}}}{{{{\left( {1 + {x^2}} \right)}^3}}} = 0,}\;\; {\Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {6x - 2{x^3} = 0}\\ {{{\left( {1 + {x^2}} \right)}^3} \ne 0} \end{array}} \right.,}\;\; {\Rightarrow 2x\left( {3 - {x^2}} \right) = 0,}\;\; {\Rightarrow {x_1} = 0,\;{x_{2,3}} = \pm \sqrt 3 .} \] Из рисунка \(6\) (приведенного выше) видно, что вторая производная положительна в интервалах \(\left( { - \infty , - \sqrt 3 } \right)\) и \(\left( {0, \sqrt 3 } \right).\) Следовательно, здесь функция является строго выпуклой вниз. В двух других интервалах − при \(x \in \left( {-\sqrt 3, 0} \right)\) и при \(x \in \left( {\sqrt 3, +\infty} \right)\) − функция строго выпукла вверх, как схематически показано на рисунке \(7.\)

   Пример 9
Исследовать направление выпуклости кривой, заданной параметрическими уравнениями \[ {x = a\left( {t - \sin t} \right),}\;\; {y = a\left( {1 - \cos t} \right),} \] где \(a > 0.\)

Решение.
Данная кривая представляет собой циклоиду. Вычислим сначала производную первого порядка: \[ {{x'_t} = {\left[ {a\left( {t - \sin t} \right)} \right]^\prime } = a\left( {1 - \cos t} \right),}\;\; {{y'_t} = {\left[ {a\left( {1 - \cos t} \right)} \right]^\prime } = a\sin t,}\;\; {\Rightarrow {y'_x} = \frac{{{y'_t}}}{{{x'_t}}} } = {\frac{{\cancel{a}\sin t}}{{\cancel{a}\left( {1 - \cos t} \right)}} } = {\frac{{\sin t}}{{1 - \cos t}}.} \] Производная второго порядка определяется по формуле: \[{y''_{xx}} = \frac{{{{\left( {{y'_x}} \right)}'_t}}}{{{x'_t}}},\] где \[ {{\left( {{y'_x}} \right)'_t} = {\left( {\frac{{\sin t}}{{1 - \cos t}}} \right)^\prime } } = {\frac{{{{\left( {\sin t} \right)}^\prime }\left( {1 - \cos t} \right) - \sin t{{\left( {1 - \cos t} \right)}^\prime }}}{{{{\left( {1 - \cos t} \right)}^2}}} } = {\frac{{\cos t\left( {1 - \cos t} \right) - \sin t\sin t}}{{{{\left( {1 - \cos t} \right)}^2}}} } = {\frac{{\cos t - \left( {{{\cos }^2}t + {{\sin }^2}t} \right)}}{{{{\left( {1 - \cos t} \right)}^2}}} } = { - \frac{\cancel{1 - \cos t}}{{{{\left( {1 - \cos t} \right)}^\cancel{2}}}} } = { - \frac{1}{{1 - \cos t}}.} \] Следовательно, вторая производная имеет вид: \[ {{y''_{xx}} = \frac{{{{\left( {{y'_x}} \right)}'_t}}}{{{x'_t}}} } = {\frac{{\left( { - \frac{1}{{1 - \cos t}}} \right)}}{{1 - \cos t}} } = { - \frac{1}{{{{\left( {1 - \cos t} \right)}^2}}}.} \] Как видно, производная \(y''\) всюду отрицательна, кроме точек \(t = 2\pi n,\;n \in \mathbb{Z}.\) Для данных точек \(x\)-координата равна \[ {x\left( {t = 2\pi n} \right) } = {a\left[ {2\pi n - \sin \left( {2\pi n} \right)} \right] } = {2a\pi n,\;n \in \mathbb{Z}.} \] Участок циклоиды схематически показан на рисунке \(8\).
циклоида
Рис.8
   Пример 10
Исследовать направление выпуклости кривой, заданной неявным уравнением \[x + y = {e^{x - y}}.\]
Решение.
Дифференцируя левую и правую части уравнения по \(x,\) находим первую производную: \[ {{\left( {x + y} \right)^\prime } = {\left( {{e^{x - y}}} \right)^\prime },}\;\; {\Rightarrow 1 + y' = {e^{x - y}}\left( {1 - y'} \right),}\;\; {\Rightarrow 1 + y' = {e^{x - y}} - {e^{x - y}}y',}\;\; {\Rightarrow y'\left( {{e^{x - y}} + 1} \right) = {e^{x - y}} - 1,}\;\; {\Rightarrow y' = \frac{{{e^{x - y}} - 1}}{{{e^{x - y}} + 1}}.} \] Аналогично определяем вторую производную: \[ {y'\left( {{e^{x - y}} + 1} \right) = {e^{x - y}} - 1,}\;\; {\Rightarrow {\left( {y'\left( {{e^{x - y}} + 1} \right)} \right)^\prime } = {\left( {{e^{x - y}} - 1} \right)^\prime },}\;\; {\Rightarrow y''\left( {{e^{x - y}} + 1} \right) + y'{e^{x - y}}\left( {1 - y'} \right) = {e^{x - y}}\left( {1 - y'} \right),}\;\; {\Rightarrow y''\left( {{e^{x - y}} + 1} \right) = {e^{x - y}}\left( {1 - y'} \right) - {e^{x - y}}\left( {1 - y'} \right)y',}\;\; {\Rightarrow y''\left( {{e^{x - y}} + 1} \right) = {e^{x - y}}{\left( {1 - y'} \right)^2},}\;\; {\Rightarrow y'' = \frac{{{e^{x - y}}{{\left( {1 - y'} \right)}^2}}}{{{e^{x - y}} + 1}}.} \] Подставим в последнее выражение первую производную \(y':\) \[ y'' = \frac{{{e^{x - y}}{{\left( {1 - y'} \right)}^2}}}{{{e^{x - y}} + 1}} = \frac{{{e^{x - y}}{{\left( {1 - \frac{{{e^{x - y}} - 1}}{{{e^{x - y}} + 1}}} \right)}^2}}}{{{e^{x - y}} + 1}} = \frac{{{e^{x - y}}{{\left( {\frac{{\cancel{e^{x - y}} + 1 - \cancel{e^{x - y}} + 1}}{{{e^{x - y}} + 1}}} \right)}^2}}}{{{e^{x - y}} + 1}} = \frac{{4{e^{x - y}}}}{{{{\left( {{e^{x - y}} + 1} \right)}^3}}}. \] Поскольку экспоненциальная функция всегда положительна, то вторая производная также положительна при всех \(x \in \mathbb{R}.\) Следовательно, заданная кривая всюду строго выпукла вниз.

Все права защищены © www.math24.ru, 2009-2016   info@math24.ru
Сайт оптимизирован для Chrome, Firefox, Safari и Internet Explorer.