Math24.ru
Формулы и Таблицы
Главная
Математический анализ
Пределы и непрерывность
Дифференцирование
Приложения производной
Интегрирование
Последовательности и ряды
Двойные интегралы
Тройные интегралы
Криволинейные интегралы
Поверхностные интегралы
Ряды Фурье
Дифференциальные уравнения
Уравнения 1-го порядка
Уравнения 2-го порядка
Уравнения N-го порядка
Системы уравнений
Формулы и таблицы
Powered by MathJax
   Биномиальные ряды
Действительные числа: \(x\), \(n\)
Целые числа: \(m\), \(n\)
Число сочетаний из \(n\) по \(m\): \(C_n^m\)
  1. Биномиальный ряд представляет собой разложение в ряд Маклорена функции \({\left( {1 + x} \right)^n}\) и в общем случае записывается в виде
    \({\left( {1 + x} \right)^n} = \sum\limits_{m = 0}^n {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} n\\ m \end{array}} \right){x^m}} = 1 + \left( {\begin{array}{*{20}{c}} n\\ 1 \end{array}} \right)x + \left( {\begin{array}{*{20}{c}} n\\ 2 \end{array}} \right){x^2} + \left( {\begin{array}{*{20}{c}} n\\ 3 \end{array}} \right){x^3} + \ldots + \left( {\begin{array}{*{20}{c}} n\\ m \end{array}} \right){x^m} + \ldots ,\)
    где \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}} n\\ m \end{array}} \right)\) − биномиальные коэффициенты, \(m\) − целое число, \(x\) − действительная (или комплексная) переменная, \(n\) − действительный (или комплексный) показатель степени.

  2. Биномиальные коэффициенты выражаются формулой
    \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}} n\\ m \end{array}} \right) = \large\frac{{n\left( {n - 1} \right) \ldots \left( {n - m + 1} \right)}}{{m!}}\normalsize\),  где  \(0 \le m \le n\).

  3. Биномиальный ряд сходится при следующих условиях (предполагается, что \(x\) и \(n\) − действительные числа):
             \(-1 < x < 1\), если \(n < -1\);
             \(-1 < x \le 1\), если \(-1 < n < 0\);
             \(-1 \le x \le 1\), если \(n > 0\).

  4. Бином Ньютона
    В случае целых степеней \(n\) биномиальный ряд представляет собой конечную сумму \({n + 1}\) слагаемых и называется биномом Ньютона:
    \({\left( {1 + x} \right)^n} = \sum\limits_{m = 0}^n {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} n\\ m \end{array}} \right){x^m}} = 1 + \left( {\begin{array}{*{20}{c}} n\\ 1 \end{array}} \right)x + \left( {\begin{array}{*{20}{c}} n\\ 2 \end{array}} \right){x^2} + \left( {\begin{array}{*{20}{c}} n\\ 3 \end{array}} \right){x^3} + \ldots + \left( {\begin{array}{*{20}{c}} n\\ m \end{array}} \right){x^m} + \ldots = 1 + nx + \large\frac{{n\left( {n - 1} \right)}}{{2!}}\normalsize {x^2} + \ldots + {x^n}\)

  5. Биномиальные коэффициенты как число сочетаний
    Коэффициенты в формуле бинома Ньютона равны числу неупорядоченных сочетаний из n по m элементов:
    \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}} n\\ m \end{array}} \right) = C_n^m = \large\frac{{n!}}{{m!\left( {n - m} \right)!}}\normalsize = \large\frac{{n\left( {n - 1} \right)\left( {n - 1} \right) \ldots \left( {n - m + 1} \right)}}{{m!}}\normalsize.\)

    При такой записи бином Ньютона выражается формулой
    \({\left( {1 + x} \right)^n} = C_n^0 + C_n^1x + C_n^2{x^2} + \ldots + C_n^{n - 1}{x^{n - 1}} + C_n^n{x^n} = \sum\limits_{m = 0}^n {C_n^m{x^m}} .\)

    Некоторые часто встречающиеся биномиальные разложения:

  6. \(\large\frac{1}{{1 + x}}\normalsize = 1 - x + {x^2} - {x^3} + \ldots ,\;\;\left| x \right| < 1\)  

  7. \(\large\frac{1}{{1 - x}}\normalsize = 1 + x + {x^2} + {x^3} + \ldots ,\;\;\left| x \right| < 1\)  

  8. \(\sqrt {1 + x} = 1 + \large\frac{x}{2}\normalsize - \large\frac{{{x^2}}}{{2 \cdot 4}}\normalsize + \large\frac{{1 \cdot 3{x^3}}}{{2 \cdot 4 \cdot 6}}\normalsize - \large\frac{{1 \cdot 3 \cdot 5{x^4}}}{{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 8}}\normalsize + \ldots ,\;\;\left| x \right| \le 1\)  

  9. \(\sqrt[\large 3\normalsize]{{1 + x}} = 1 + \large\frac{x}{3}\normalsize - \large\frac{{1 \cdot 2{x^2}}}{{3 \cdot 6}}\normalsize + \large\frac{{1 \cdot 2 \cdot 5{x^3}}}{{3 \cdot 6 \cdot 9}}\normalsize - \large\frac{{1 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 8{x^4}}}{{3 \cdot 6 \cdot 9 \cdot 12}}\normalsize + \ldots ,\;\;\left| x \right| \le 1\)  



Все права защищены © www.math24.ru, 2009-2016   info@math24.ru
Сайт оптимизирован для Chrome, Firefox, Safari и Internet Explorer.